Suite définie par récurrence et suite intermédiaire géométrique

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0=\dfrac12$ et par la relation, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac23u_n+1$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Montrer que $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
  3. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-3$.
    1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme et la raison.
    2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    3. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Correction
  1. $u_1=\dfrac23u_0+1=\dfrac23\tm\dfrac12+1=\dfrac43$ et $u_2=\dfrac23u_1+1=\dfrac23\tm\dfrac43+1=\dfrac{17}9$
  2. $u_1-u_0\not= u_2-u_1$ et donc la suite ne peut pas être arithmétique.
    De même $\dfrac{u_1}{u_0}\not=\dfrac{u_2}{u_1}$ et donc cette suite ne peut pas être géométrique non plus.
  3. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-3$.
    1. Pour tout entier $n$, on a
      \[\begin{array}{ll}v_{n+1}&=u_{n+1}-3\\[.5em]&=\dfrac23u_n+1-3=\dfrac23u_n-2\\[.8em]&=\dfrac23\left( u_n-3\right) =\dfrac23v_n\enar\]

      ce qui montre que la suite est géométrique de raison $q=\dfrac23$ et de premier terme $v_0=u_0-3=-\dfrac52$.
    2. On a alors, pour tout entier $n$,
      \[v_n=v_0q^n=-\dfrac52\lp\dfrac23\rp^n\]

      et alors
      \[u_n=v_n+3=-\dfrac52\lp\dfrac23\rp^n+3\]



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