Sens de variation, tangente, TVI ...

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

On considère la fonction $ f$ définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ par: $ f(x)=x^3-3x-3$ .

On note $ \mathcal{C}_f$ sa représentation graphique.

  1. Dresser le tableau de variation de $ f$ .
  2. Déterminer une équation de la tangente $ T$ à $ \mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0 .
  3. Tracer $ T$ et $ \mathcal{C}_f$ dans un même repère.
  4. Démontrer que l'équation $ f(x)=0$ admet une unique solution $ \alpha$ dans l'intervalle $ [2;3]$ .

    Donner un encadrement de $ \alpha$ d'amplitude $ 10^{-2}$ .


Correction
  1. $ f$ est une fonction polynôme du troisième degré définie et dérivable sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ , avec, pour tout $ x$ réel, $ f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$ .

    On en déduit le tableau de variation de $ f$ :

    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline $x$\ & $-\infty... ...&& \psline{->}(-0.3,-0.3)(0.6,0.4)& \\ &&&&&$-5$&&\\ \hline \end{tabular} $

  2. $ T$ a pour équation: $ y=f'(0)(x-0)+f(0)=-3x-3$ .



  3. \begin{pspicture}(-3.5,-7.5)(4,2) \psline{->}(-3.5,0)(3.5,0) \psline{->}(0,-7.... ...(-2.3,-1)(0.4,-1) \psline[linewidth=1.5pt]{<->}(.1,-5)(1.9,-5) \end{pspicture}

  4. Sur $ [2;3]$ , la fonction $ f$ est dérivable, strictement croissante, avec $ f(2)=-1<0$ et $ f(3)=15>0$ . On en déduit, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation $ f(x)=0$ admet une unique solution $ \alpha$ dans l'intervalle $ [2;3]$ .

    A l'aide de la calculatrice, on trouve que $ f(2,10)\simeq -0,039$ et $ f(2,11)\simeq 0,06$ , et donc que $ 2,10<\alpha<2,11$ .



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