Sens de variation, produit avec fonction exponentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Étudier le sens de variation de la fonction $g$ définie par $g(x)=(x^2-3)e^x$

Correction
On a $g=uv$ avec $u(x)=x^2-3$ donc $u'(x)=2x$ et $v(x)=e^x$ donc $v'(x)=e^x$.
Ainsi, $g'=u'v+uv'$, soit $g'(x)=2xe^x+(x^2-3)e^x=(x^2+2x-3)e^x$
On a $e^x>0$ et le premier terme est du second degré de discriminant $\Delta=16>0$ et admet donc deux racines $x_1=1$ et $x_2=-3$.

\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-3$ && 1 &&$+\infty$ \\\hline $x^2+2x-3$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}& $+$ &\\\hline $e^x$ && $+$&$|$& $+$ & $|$ & $+$&\\\hline $g'(x)$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}& $+$ &\\\hline &&&&&&&\\ $g$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&\\\hline \end{tabular}\]



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