Sens de variation d'une suite définie par une fonction (bis)

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\dfrac{n+1}{2n+1}$.
Déterminer le sens de variation de la suite $(v_n)$.


Correction

Correction

On a $v_n=f(n)$ avec la fonction $f:x\mapsto \dfrac{x+1}{2x+1}$.
On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x+1$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=2x+1$ donc $v'(x)=2$.
Ainsi, $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit $f'(x)=\dfrac{1(2x+1)-(x+1)2}{(2x+1)^2} =\dfrac{-1}{(2x+1)^2}<0$.
Ainsi $f$ est strictement décroissante sur $\R_+$, et $(v_n)$ est strictement décroissante sur $\N$.


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