Polynôme de degré 3 et fraction rationnelle

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

1) Soit le polynôme $ P(x)=3x^3-7x^2-7x+3=0$ .

Montrer que le polynôme $ P$ peut se factoriser sous la forme $ P(x)=(x+1)Q(x)$ , où $ Q(x)$ est un trinôme du second degré que l'on déterminera.


Déterminer alors les solutions de l'équation $ 3x^3-7x^2-7x+3=0$ .

2) On considère la fraction rationnelle : $ \displaystyle f(x)=\frac{3x^3-7x^2-7x+3}{3x^2-12x+12}$

a) Déterminer l'ensemble de définition de $ f$ .
b) Résoudre l'inéquation $ f(x)\geq0$ .

Correction
1) Soit $ Q(x)=ax^2+bx+c$ , alors on a: $ P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c$ , d'où on déduit que $ \left\{\begin{array}{l} a=3\\ a+b=-7\\ b+c=-7 \\ c=3\end{array}\right.$ , soit donc, $ a=3$ , $ b=-10$ et $ c=3$ .

Ainsi, $ P(x)=(x+1)(3x^2-10x+3)$ . Le discriminant de $ Q(x)$ est $ \Delta=64$ et ses racines sont $ x_1=\frac{1}{3}$ et $ x_2=3$ .

Les solutions de l'équation $ P(x)=0$ sont donc: $ \mathcal{S}=\left\{-1;\frac{1}{3};3\right\}$ .


2)
a) $ f$ est définie pour les valeurs de $ x$ telles que $ 3x^2-12x+12\not=0 \Longleftrightarrow 3(x-2)^2\not=0 \Longleftrightarrow x\not=2$ .

$ f$ est donc définie sur $ \mathcal{D}_f={\rm I\kern-.1567em R}\setminus\{2\}$ .

b) A l'aide de la factorisation obtenue au $ 1)$ , on a

$\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert lcccccccccr\vert}\hline $x$\ & $-\i... ...ce{-0.67em}\mid$}&-&\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}&+& \\ \hline \end{tabular} $

On a alors,

$ f(x)\geq0 \Longleftrightarrow x\in[-1;\frac{1}{3}]\cup[3;+\infty[$ .



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