Polynôme de degré 3

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

On considère le polynôme $P$ défini par $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$.
  1. Vérifier que 1 est une racine de $P$.
  2. Déterminer trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout réel $x$, $P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$.
  3. Résoudre l'inéquation $P(x)\geqslant 0$.

Correction
On considère le polynôme $P$ défini par $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$.
  1. $P(1)=1-6+11-6=0$ et donc 1 est bien une racine de $P$.
  2. $(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$ et donc $P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)\iff \la\begin{array}{ll} a=1\\ b-a=-6\\ c-b=11\\ -c=-6 \enar\right.$.
    On trouve donc $a=1$, $b=-5$ et $c=6$, ou encore $P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)$.
  3. $Q(x)=x^2-5x+6$ est un trinôme du second degré de discriminant $\Delta=1>0$ et admet donc deux racines $x_1=2$ et $x_2=3$. On a alors le tableau de signes:
    \[\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline $x$ & $-\infty$ & &1& &2& &3& &$+\infty$ \\\hline $x-1$& &-& \zb&+& $|$ &+&\zb &$+$&\\\hline $Q(x)$& &+& $|$ &+& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &-&\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}&+& \\\hline $P(x)$& &-& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &+& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &-&$|$&+& \\\hline \end{tabular} \]

    On a alors $P(x)\geqslant0\iff x\in[1;2]\cup[3;+\infty[$.


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