Inéquation avec fractions

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Résoudre: $2+\dfrac{3}{x-4}\geqslant\dfrac{1}{2-x}$


Correction

Correction

$2+\dfrac{3}{x-4}\geqslant\dfrac{1}{2-x} \iff \dfrac{-2x^2+8x-6}{(x-4)(2-x)}\geqslant0 \iff \dfrac{-x^2+4x-3}{(x-4)(2-x)}\geqslant0$.
Le trinôme du 2nd degré au numérateur a un discriminant $\Delta=4=2^2>0$ et admet donc deux racines $x_1=1$ et $x_2=3$.
Le trinôme du 2nd degré du dénominateur a comme racines évidentes 2 et 4.
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline $x$ & $-\infty$ & &1& &2& &3& &4& &$+\infty$ \\\hline $-x^2+4x-3$& &-& \zb&+& $|$ &+&\zb&$-$& $|$ &$-$&\\\hline $(x-4)(2-x)$& &-& $|$ &-& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &+&$|$&+& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & -&\\\hline $\dfrac{-x^2+4x-3}{(x-4)(2-x)}$ & &+& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &-& \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} &+&\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}&-& \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} & +&\\\hline \end{tabular} \]

Ainsi, $\mathcal{S}=]-\infty;1]\cup]2;3]\cup]4;+\infty[$.


Tag:2nd degré

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