Deux fonctions définies à une constante près

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Soit $ f$ et $ g$ les fonction définies sur $ {\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{2\right\}$ par:

$\displaystyle f(x)=\dfrac{4x+1}{x-2}$   et$\displaystyle \quad g(x)=\dfrac{9}{x-2} $

  1. Calculer $ f'(x)$ et $ g'(x)$ pour tout $ x\in{\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{2\right\}$ .

    Que remarque-t-on ?

  2. Calculer $ f(x)-g(x)$ . Justifier alors la remarque précédente.

Correction
  1. $ f=\dfrac{u}{v}$ avec $ \left\{\begin{array}{ll} u(x)=4x+1 \\ v(x)=x-2\end{array}\right.$ et donc, $ \left\{\begin{array}{ll} u'(x)=4 \\ v'(x)=1\end{array}\right.$

    On a alors, $ f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ , soit pour tout $ x\in{\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{2\right\}$ , $ f'(x)=\dfrac{4(x-2)-(4x+1)1}{(x-2)^2} =\dfrac{-9}{(x-2)^2} $ .

    $ g=9\times \dfrac{1}{v}$ avec $ v(x)=x-2$ , donc $ v'(x)=1$ , et alors, pour tout $ x\in{\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{2\right\}$ , $ g'(x)=9\times \dfrac{-1}{(x-2)^2}$ .

    On remarque que pour tout $ x\in{\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{2\right\}$ , $ f'(x)=g'(x)$ .

  2. Pour tout $ x\in{\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{2\right\}$ , $ f(x)-g(x)=\dfrac{4x+1}{x-2}-\dfrac{9}{x-2} =\dfrac{4x-8}{x-2} =\dfrac{4(x-2)}{x-2}=4$ .

    Ainsi, $ \left(f(x)-g(x)\right)'=\left(4\right)'=0$ .

    Or, $ \left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)$ , et on en retrouve alors que $ f'(x)=g'(x)$ .



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