Etats stable et excité de l'atome d'hydrogène

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Un atome d'hydrogène peut se trouver dans deux états différents, l'état stable (S) et l'état excité (E). À chaque nanoseconde, la probabilité qu'un atome passe de l'état stable à l'état excité est 0,01. Mais on ne connaît pas en revanche, la probabilité de changement de l'état excité à l'état stable. On note par la suite $a$ cette probabilité supposée constante, et $(X_n)$ la chaîne de Markov décrivant les états de l'atome.
  1. Donner, en fonction de $a$, la matrice de transition de la chaîne $(X_n)$ associée aux états S et E.
  2. Après un temps très long, on observe que la proportion d'atomes excités se stabilise autour de 2%. Déterminer la valeur de $a$.



Correction

Correction

  1. La matrice de transition est $M=\lp\begin{array}{cc}0,99&0,01\\a&1-a\enar\rp$.
  2. L'état observé sur le long terme est l'état stable $L=(0,98\quad 0,02)$ qui vérifie $L=LM$, soit
    \[\la\begin{array}{rcrcr} 0,98&=&0,98\tm0,99 &+& 0,02a\\ 0,02&=&0,98\tm0,01 &+& 0,02(1-a) \enar\right.\]

    Ces deux équations sont équivalentes, et équivalentes à
    \[0,98\tm0,01-0,02a=0\iff a=0,49\]

    Ainsi, chaque nanoseconde, 49% des atomes dans l'état excités reviennent dans leur état stable.


Tag:Chaines de Markov

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