Equilibre de gaz entre deux réservoirs

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Deux compartiments, A et B, contiennent un gaz. Ces deux compartiments sont reliés entre eux, et le gaz peut donc librement passer d'un compartiment à l'autre.
Initialement le compartement $A$ contient 10% du gaz et les 90% restants sont dans le compartiment B.
À chaque seconde, 40% du gaz présent dans le compartiment A passe dans le compartiment B, et de même 40% du gaz dans le compartiment B passe dans le A. On note alors $\pi_n=\left( p_A \quad p_B\rp$ la répartition du gaz respectivement dans les compartiments A et B, au bout de $n$ secondes.
  1. Représenter l'évolution de la proportion de gaz entre les deux compartiments par un graphe pondéré.
  2. La matrice de transition associée à ce graphe est $M=\lp\begin{array}{cc}0,6&0,4\\0,4&0,6\enar\rp$.
    Donner la répartition du gaz au bout 1 seconde, puis au bout de 10 secondes.
  3. On considère la matrice $P=\lp\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\enar\rp$.
    Montrer que cette matrice est inversible, puis que son inverse est $P^{-1}=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&-1\\1&1\enar\rp$.
  4. Déterminer les nombres réels $x$ et $y$ dans la matrice $D=\lp\begin{array}{cc}x&0\\0&y\enar\rp$ tel qu'on ait
    \[M=PDP^{-1}\]


  5. Calculer $D^2$ et donner, pour tout entier $n$, la matrice $D^n$.
  6. Établir à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier $n$ non nul, on a $M^n=PD^nP^{-1}$.
  7. Déterminer la limite $L$ de la matrice $D^n$ lorsque $n\to+\infty$. En déduire la distribution limite $\pi$ de la suite des distributions $(\pi_n)$.



Correction

Correction


  1. \[\psset{arrowsize=8pt}\begin{pspicture}(0,-.3)(4.5,2.) %\psline{->}(1,1)(2.9,1) \psarc{->}(.3,1){.6}{20}{335} \psarc{->}(5.7,1){.6}{210}{160} \psarc{<-}(3,0){2.2}{35}{145} \psarc{<-}(3,2){2.2}{215}{325} \rput(1,1){$\bullet$}\rput(.7,1){$A$} \rput(5,1){$\bullet$}\rput(5.3,1){$B$} % \rput(-.65,1){0,6} \rput(6.6,1){0,6} \rput(3,1.9){0,4} \rput(3,0){0,4} \end{pspicture}\]

  2. On a $\pi_0=\left( 0,1 \quad 0,9\rp$ et au bout de 1s,
    \[\begin{array}{ll}\pi_1&=\pi_0M\\&=\left( 0,1 \quad 0,9\rp\left(\begin{array}{cc}0,4&0,6\\0,6&0,4\enar\rp\\ &\simeq( 0,42 \quad 0,58 )\enar\]


    Au bout de 10 secondes, la distribution est
    \[\pi_{10}=\pi_0M^{10}\simeq(0,5 \quad 0,5)\]

    à $10^{-8}$ près.
  3. $P=\lp\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\enar\rp$.
    On a $\det(P)=1\tm1-(-1)\tm1=2\not=0$, ce qui montre que cette matrice est inversible.
    Ensuite, on calcule de $PP^{-1}=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&1\enar\rp=I_2$, ce qui montre que cette matrice $P^{-1}$ est bien la matrice inverse de $P$.
  4. On calcule
    \[\begin{array}{ll} PDP^{-1} &=\lp\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}x&0\\0&y\enar\rp\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&-1\\1&1\enar\rp\\[1.3em] &=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}x&y\\-x&y\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&-1\\1&1\enar\rp\\[1.3em] &=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}x+y&-x+y\\-x+y&x+y\enar\right) \enar\]

    Ainsi, pour avoir $M=PDP^{-1}$, on doit avoir
    \[\la\begin{array}{lcrcr} \dfrac12(\ x+y)&=&0,6\\[1em] \dfrac12(-x+y)&=&0,4 \enar\right.\]

    soit encore
    \[\la\begin{array}{rclcl} x&+&y&=&1,2\\[1em] -x&+&y&=&0,8 \enar\right.\]

    et donc, en ajoutant les deux équations, on obtient $2y=2$ soit $y=1$ et de même, en les soustrayant, on obtient $2x=0,4$ soit $x=0,2$
    On trouve donc la matrice diagonale $D=\lp\begin{array}{cc}0,2&0\\0&1\enar\rp$
  5. On calcule facilement $D^2=\lp\begin{array}{ll}0,2^2&0\\0&1\enar\rp$ et plus généralement, $D^n=\lp\begin{array}{ll}0,2^n&0\\0&1\enar\rp$ pour tout entier $n$.
  6. Initialisation: pour $n=1$, on a $M^1=PD^1P^{-1}$ d'après le calcul de la question précédente.

    Hérédité: Supposons que, pour un entier $n\geqslant1$ on ait $M^n=PD^nP^{-1}$,
    alors,
    \[\begin{array}{ll} M^{n+1}&=M^nM\\ &=PD^nP^{-1}M \enar\]

    or on sait que $M=PDP^{-1}$, d'où
    \[\begin{array}{ll} M^n&=PD^n\underbrace{P^{-1}P}_{=I_2}DP^{-1}\\[1.6em] &=PD^nDP^{-1}\\[.6em] &=PD^{n+1}P^{-1} \enar\]

    ce qui montre que la formule est encore vraie au rang $n+1$.

    Conclusion: on vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $n$ non nul, $M^n=PD^nP^{-1}$.
  7. Comme $-1<0,2<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}0,2^n=0$ et alors,
    \[\lim_{n\to+\infty}D^n=L=\lp\begin{array}{cc}0&0\\0&1\enar\rp\]

    Comme
    \[\pi_n=\pi_0M^n=\pi_0PD^nP^{-1}\]

    on en déduit que
    \[\lim_{n\to+\infty}\pi_n=\pi_0PLP^{-1}\]

    Il reste à faire les produits matriciels, et on trouve que
    \[\pi_0PLP^{-1}=( 0,5 \quad 0,5 )\]

    d'où la limite
    \[\lim_{n\to+\infty}\pi_n=( 0,5 \quad 0,5 )\]

    Après un temps assez long, le gaz s'équilibre exactement entre les deux compartiments: 50% dans chaque compartiment.


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