Géométrie dans l'espace: annales de bac et corrections
Terminale générale, spécialité mathématiques
Annales de bac: sujets et corrigés d'exercices posés au baccalauréat en mathématiques de géométrie dans l'espace
Exercice 1: Bac, 20 mars 2023 - Volume d'un tétraèdre dans un cube
On considère le cube ABCDEFCH d'arête 1.
On appelle I le point d'intersection du plan (GBD) avec la droite (EC). L'espace est rapporté au repère orthonormé . |
|
- Donner dans ce repère les coordonnées des points E, C, G.
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).
- Démontrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).
-
- Justifier qu'une équation cartésienne du plan (GBD) est :
- Montrer que le point I a pour coordonnées .
- En déduire que la distance du point E au plan (GBD) est égale à .
- Justifier qu'une équation cartésienne du plan (GBD) est :
-
- Démontrer que le triangle BDG est équilatéral.
- Calculer l'aire du triangle BDG. On pourra utiliser le point J, milieu du segment [BD].
- Justifier que le volume du tétraèdre EGBD est égal à .
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par où est l'aire d'une base du tétraèdre et est la hauteur relative à cette base.
Correction exercice 1
(Bac spécialité maths, 20 mars 2023)
- , et .
- On a qui dirige et qui passe par d'où une représentation paramétrique
soit
- On a donc et alors
et donc et alors
Ainsi, est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan , et donc est orthogonale au plan .
-
- est donc un vecteur normal au plan qui a donc une équation cartésienne de la forme
Comme , on a aussi
d'où l'équation cartésienne
- Soit , alors
en utilisant les équations de la représentation paramétrique ainsi que l'équation cartésienne précédente, on obtient
Finalement, avec la représentation paramétrique de on obtient les coordonnées
c'est-à-dire .
- La distance du point au plan est égale à car et donc est le projeté orthogonal de sur .
Cette distance est alors
- est donc un vecteur normal au plan qui a donc une équation cartésienne de la forme
-
- On a pour les trois côtés car ce sont les diagonales des faces du cube, donc des diagonales de carrés de côté 1.
Ce triangle est donc bien équilatéral.
- On a qui est le pied de la médiane issue de dans le triangle . Mais comme ce triangle est équilatéral, cette médiane est aussi la médiatrice et la hauteur, et en particulier le triangle est rectangle en et
avec
et et
Ainsi, finalement,
- On a pour les trois côtés car ce sont les diagonales des faces du cube, donc des diagonales de carrés de côté 1.
- En utilisant comme base et comme hauteur (qui sont bien orthogonaux d'après les questions précédentes), on trouve
Cacher la correction
Exercice 2: Bac 2022 - Volume d'un tétraèdre dans un cube
On considère un cube ABCDEFGH
et on appelle K le milieu du segment [BC].
On se place dans le repère et on considère le tétraèdre EFGK.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par:
où désigne l'aire d'une base et la hauteur relative à cette base.
Cacher la correction
On se place dans le repère et on considère le tétraèdre EFGK.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par:
où désigne l'aire d'une base et la hauteur relative à cette base.
- Préciser les coordonnées des points E, F, G et K.
- Montrer que le vecteur est orthogonal au plan (EGK).
- Démontrer que le plan (EGK) admet pour équation cartésienne :
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan (ECK) passant par F.
- Montrer que le projeté orthogonal L de F sur le plan (EGK) a pour coordonnées .
- Justifier que la longueur LF est égale à .
- Calculer l'aire du triangle EFG. En déduire que le volume du tétraèdre EFGK est égal à .
- Déduire des questions précédentes l'aire du triangle EGK.
- On considère les points P milieu du segment [EG], M milieu du segment [EK] et N milieu du segment[GK]. Déterminer le volume du tétraèdre FPMN.
Correction exercice 2
- E( 0 ; 0; 1) ;   F( 1 ; 0; 1) ;
  G( 1 ; 1 ; 1) ;   K( 1 ; 0,5 ; 0)
- On a et
qui sont non colinéaires, et tels que
et
et donc est orthogonal à deux vecteurs colinéaires du plan (EGK) et donc est orthogonal au plan (EGK). - On déduit de la question précédente qu'une équation cartésienne du plan (EGK)
s'écrit sous la forme
De plus, , d'où , et donc le plan (EGK) admet bien pour équation cartésienne : - La droite orthogonale au plan (ECK) admet donc pour vecteur directeur et comme elle passe de plus par F, on peut écrire la représentation paramétrique
- Comme et , le projeté orthogonal L de F
sur le plan (EGK) est l'intersection de la droite et du plan.
En particulier les coordonnées de L vérifient la représentation paramétrique précédente, pour un certain paramètre , et aussi l'équation du plan (EGK), soit
d'où les coordonnées de L:
qui sont bien les coordonnées recherchées. -
- Le triangle EFG est isocèle rectangle et a pour aire
Dans le tétraèdre EFGK, la hauteur associée à la base EFG est KK',
On a KK'=1 et donc le volume
- On eput aussi calculer ce volume en prenant la base EGK,
la hauteur associée étant alors LF, et on a donc
-
Comme les deux triangles EGK et PMN sont dans le même plan, les hauteurs qui leurs sont associées dans les deux trétraèdres sont les mêmes, soit LF.
D'arpès le théorème de Thalès, on a , et : les longueurs de tous les côtés sont divisées par 2, et l'aire est donc divisée par 4.
Finalement, on obtient l'aire du tétraèdre:
Cacher la correction
Exercice 3: Représentation paramétrique et projeté orthogonal
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé ,
on considère:
Cacher la correction
- le point A de coordonnées ,
- la droite dont une représentation paramétrique est: .
-
- Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite . On admet que le point A n'appartient pas à la droite .
- Montrer que le point appartient à la droite .
- Calculer le produit scalaire .
- On note le plan passant par le point A et orthogonal à la droite , et on appelle H le point d'intersection du plan et de la droite . Ainsi, H est le projeté orthogonal de A sur la droite .
- Montrer que le plan admet pour équation cartésienne: .
- En déduire que le point H a pour coordonnées .
- Calculer la longueur AH. On donnera une valeur exacte.
- Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur la droite , par une autre méthode.
On rappelle que le point B appartient à la droite et que le vecteur est un vecteur directeur de la droite .
- Justifier qu'il existe un nombre réel tel que .
- Montrer que .
- Calculer la valeur du nombre réel et retrouver les coordonnées du point H.
- On considère un point C appartenant au plan tel que le volume du tétraèdre ABCH soit égal à .
Calculer l'aire du triangle ACH.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: où désigne l'aire d'une base et la hauteur relative à cette base.
Correction exercice 3
-
- Un vecteur directeur est donné par
- Avec les coordonnées de B, on a
ce qui montre que B appartient bien à la droite . - On a donc
-
- Le plan est orthogonale à la droite dirigée par
qui est donc un vecteur normal à ce plan qui admet
donc une équation cartésienne de la forme
On sait de plus que , et donc que
Finalement, on a trouvé une équation cartésienne du plan :
- Le plan et la droite sont orthogonaux;
en particulier ils se coupent en un unique point .
Soit , alors
et de plus,
et on obtient alors les coordonnées
qui sont bien les coordonnées recherchées du point H.
-
- Le plan est orthogonale à la droite dirigée par
qui est donc un vecteur normal à ce plan qui admet
donc une équation cartésienne de la forme
-
- Les points H et B appartiennent tous les deux à la droite ,
et est un vecteur directeur de cette droite.
On en déduit que les vecteurs et sont colinéaires, c'est-à-dire qu'il existe un réel tel que .
- D'après le résultat précédent, en prenant le produit scalaire
avec on obtient
d'où
Maintenant pour faire intervenir le vecteur on peut utiliser la relation de Chasles:
or car et et normal à .
On vient donc de trouver que
et donc la relation souhaitée:
-
D'après la question 1.c. on a ,
et comme , on obtient
que
et on retrouve les coordonnées du point H(x;y;z):
- Les points H et B appartiennent tous les deux à la droite ,
et est un vecteur directeur de cette droite.
- BH est une hauteur relative à la base ACH,
et donc, avec
avec
et , d'où l'aire de la base ACH:
Cacher la correction
Exercice 4: Bac 2021 - Géométrie dans un cube
On considère le cube de côté 1, est le milieu de et le symétrique de par rapport à .
Dans tous les exercices, l'espace est rapporté au repère orthonormé . |
|
-
- Par lecture graphique, donner les coordonnées de et .
- En déduire les coordonnées des vecteurs , et .
- Montrer que est un vecteur normal au plan .
- Montrer qu'une équation cartésienne du plan est .
- On note la droite passant par et orthogonale au plan .
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite .
- On considère le point de coordonnées
.
Montrer que est le point d'intersection de la droite et du plan .
- On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule
,
où est l'aire d'une base et la hauteur associée à cette base.
- Calculer le volume de la pyramide .
- En déduire l'aire du triangle .
Correction exercice 4
|
-
- Par lecture graphique, et .
- On en déduit , et .
- est normal au plan si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple
et , ce qui est bien le cas car:
et
- Un vecteur normal au plan est donc
et donc ce plan a une équation cartésienne de la forme
.
De plus appartient à ce plan, d'où .
Une équation cartésienne du plan est donc bien .
- On note la droite passant par et orthogonale au plan .
- Comme la droite est orthogonale au plan et que est aussi orthogonal à ce plan, on en déduit que est un vecteur directeur de . On a donc une reprsentation paramétrique, avec :
- Comme est orthogonal à , leur intersection est donc un point. Il reste donc simplement à vérifier que cette intersection est le point , c'est-à-dire que et .
Avec l'équation cartésienne de , et donc .
Avec la représentation prarémtrique de , on cherche tel que
et donc .
Finalement est le point d'intersection de et .
- Comme la droite est orthogonale au plan et que est aussi orthogonal à ce plan, on en déduit que est un vecteur directeur de . On a donc une reprsentation paramétrique, avec :
-
- D'après tout ce qui précède, une hauteur est associée à la base .
On peut aussi considérer la base associée à la hauteur , qui donne le volume
- En utilisant la hauteur et la base d'aire ,
on a
où
On en déduit que
d'où l'aire du triangle .
- D'après tout ce qui précède, une hauteur est associée à la base .
Cacher la correction
Exercice 5: Bac 2021, Amérique du nord - Géométrie dans un cube et représentation paramétrique de droites
On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].
Baccalauréat général, spécialité mathématique, Amérique du Nord mai 2021 (candidats libres)
Cacher la correction
-
Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse,
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé .
-
- Donner les coordonnées des points I et J.
- Montrer que les vecteurs et sont coplanaires.
On considère le plan d'équation ainsi que les droites et définies par les représentations paramétriques ci-dessous:
- Les droites et sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
- Montrer que la droite est parallèle au plan .
- Montrer que le point L(4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point M(5 ; 3 ; 1) sur le plan .
Correction exercice 5
Baccalauréat général, spécialité mathématique, Amérique du Nord mai 2021 (candidats libres)
- On a A(0;0;0) et I(0,5;0;1), donc
et K(0;0;0,5) et H(0;1;1)
donc .
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles.
-
- On a par lecture graphique I(0,5;0;1), et J(1;0,5;0)
- On a , , et
.
On a donc que , ce qui montre que ces trois vecteurs sont coplanaires.
Autre méthode 2, si on ne s'aperçoit pas de la relation suivante, on peut tous simplement la chercher: on cherche s'il existe trois réels a,b et c tels que
dont la troisième équation donne puis , et il y a une infinité de solutions, par exemple et , d'où la relation
a pour vecteur directeur et a pour vecteur directeur : ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites et ne sont pas parallèles - Un vecteur directeur de est
et un vecteur directeur de est .
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les droites ne sont pas parallèles.
- Le plan a pour vecteur normal le vecteur et
a pour vecteur directeur .
Or : les vecteurs sont orthogonaux donc la droite est parallèle au plan .
-
Méthode 1. Soit la perpendiculaire à contenant M. Cette droite a pour vecteur directeur le vecteur , donc une équation paramétrique de est :
Le projeté L, de M sur le plan a ses coordonnées qui vérifient les quatre équations:
et donc, en substituant les expressions des coordonnées dans la dernière équation du plan, on obtient
En reportant dans les trois premières équations du système, on trouve alors les coordonnées de L projeté orthogonal de M sur :
Donc le projeté orthogonal de M sur le plan est le le point L(4 ; 0 ; 3).
Méthode 2. On a , donc est un vecteur normal au plan .
D'autre part
est vraie, donc L est bien le projeté orthogonal de M sur le plan .
Cacher la correction
Exercice 6: Bac 2021 - QCM de géométrie dans l'espace
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées
est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.
Le point I est le centre du carré ABCD. On suppose que: IC = IB = IS = 1.
Les points K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [SD], [SC] et [SB].
Cacher la correction
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.
Le point I est le centre du carré ABCD. On suppose que: IC = IB = IS = 1.
Les points K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [SD], [SC] et [SB].
- Les droites suivantes ne sont pas coplanaires:
a. (DK) et (SD) b. (AS) et (IC) c. (AC) et (SB) d. (LM) et (AD)
Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l'espace .
Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants:
- Les coordonnées du milieu N de [KL] sont:
a. b. c. d.
- Les coordonnées du vecteur sont:
a. b. c. d.
- Une représentation paramétrique de la droite (AS) est:
a. b. c. d.
- Une équation cartésienne du plan (SCB) est:
a. b. c. & d.
Correction exercice 6
- Réponse c.
On peut procèder par élimination:- Les droites (DK) et (SD) sont sécantes en D donc coplanaires; on élimine a.
- Les droites (AS) et (IC) sont sécantes en A donc coplanaires; on élimine b.
- Les droites (LM) et (AD) sont toutes deux parallèles à (BC) donc parallèles entre elles; elles sont donc coplanaires; on élimine d.
- Réponse b.
On calcule les coordonnées des milieux: le milieu K de [SD] a pour coordonnées , et le milieu L de [SC] a pour coordonnées , et enfin le milieu N de [KL] a donc pour coordonnées .
- Réponse b.
- Réponse c.
La droite (AS) a pour vecteur directeur et donc la seule représentation qui convienne est la c.
- Réponse b.
On peut là aussi procèder par élimination:- Le plan d'équation ne contient pas C ; on élimine a.
- Le plan d'équation ne contient pas S ; on élimine c.
- Le plan d'équation ne contient pas B ; on élimine d.
Cacher la correction
Exercice 7: Bac 2021 - Distance point à un plan et volume d'une pyramide
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé
, on considère les points:
A de coordonnées (2 ; 0 ; 0), B de coordonnées (0 ; 3 ; 0) et C de coordonnées (0 ; 0 ; 1).
L'objectif de cet exercice est de calculer l'aire du triangle ABC.
(Bac général, spécialité mathématiques, 15 mars 2021)
Cacher la correction
A de coordonnées (2 ; 0 ; 0), B de coordonnées (0 ; 3 ; 0) et C de coordonnées (0 ; 0 ; 1).
L'objectif de cet exercice est de calculer l'aire du triangle ABC.
-
- Montrer que le vecteur est normal au plan (ABC).
- En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : .
- On note la droite passant par O et orthogonale au plan (ABC).
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite .
- Montrer que la droite coupe le plan (ABC) au point H de coordonnées .
- Calculer la distance OH.
- On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par:
, où est l'aire d'une
base et est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide OABC, déterminer l'aire du triangle ABC.
Correction exercice 7
(Bac général, spécialité mathématiques, 15 mars 2021)
-
- Pour montrer que le vecteur
est normal au plan (ABC),
il suffit de démontrer que ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs
directeurs du plan (ABC), par exemple et .
On a donc
et ainsi .
De même, donc et ainsi, aussi, . On en déduit que le vecteur est normal au plan (ABC). - .
Or a pour coordonnées .
et donc
Le plan (ABC) a donc pour équation cartésienne .
- Pour montrer que le vecteur
est normal au plan (ABC),
il suffit de démontrer que ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs
directeurs du plan (ABC), par exemple et .
On a donc
et ainsi .
-
-
La droite est orthogonale au plan (ABC) donc elle a pour vecteur directeur le vecteur normal à (ABC).
De plus elle passe par le point O de coordonnées .
Une représentation paramétrique de la droite est donc
- La droite est orthogonale au plan (ABC),
et donc elle le coupe en un point H.
Soit alors on a
Donc, en substituant dans la troisième équation, on obtient
On en déduit que
et on a donc trouvé les coordonnées . - On calcule alors directement
On obtient donc la distance .
-
La droite est orthogonale au plan (ABC) donc elle a pour vecteur directeur le vecteur normal à (ABC).
-
- On peut prendre le triangle OAB pour base de la pyramide OABC,
la hauteur est alors OC, et le volume
avec et .
On obtient donc le volume
- On peut aussi prendre le triangle ABC pour base de la pyramide OABC,
la hauteur est alors OH, et le volume est
avec est l'aire du triangle ABC.
On a ici et donc
d'où on déduit que
.
- On peut prendre le triangle OAB pour base de la pyramide OABC,
la hauteur est alors OC, et le volume
Cacher la correction
Exercice 8: Bac 2021 - Orthogonalité dans l'espace et minimisation d'une distance et volume d'une pyramide
Dans un repère orthonormé
on considère
Le but de cet exercice est de déterminer le point de le plus proche du point A et d'étudier quelques propriétés de ce point.
On pourra s'appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.
(Bac général, spécialité mathématiques, métropole, 7 juin 2021)
Cacher la correction
- le point A de coordonnées (1 ; 3 ; 2),
- le vecteur de coordonnées
- la droite passant par l'origine O du repère et admettant pour vecteur directeur .
Le but de cet exercice est de déterminer le point de le plus proche du point A et d'étudier quelques propriétés de ce point.
On pourra s'appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite .
- Soit un nombre réel quelconque, et un point de la droite , le point ayant pour coordonnées .
- On note AM la distance entre les points A et M.
Démontrer que:
- Démontrer que le point de coordonnées
est le point de la droite pour lequel la distance
est minimale.
On admettra que la distance est minimale lorsque son carré est minimal.
- On note AM la distance entre les points A et M.
Démontrer que:
- Démontrer que les droites et sont orthogonales.
- On appelle le projeté orthogonal du point sur le plan
d'équation cartésienne .
Le point admet donc pour coordonnées .
Démontrer que le point est le point du plan le plus proche du point O, origine du repère.
- Calculer le volume de la pyramide .
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: , où est l'aire d'une base et est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
Correction exercice 8
(Bac général, spécialité mathématiques, métropole, 7 juin 2021)
- , soit :
-
- De ,
on calcule:
- L'expression précédente est une expression du second degré.
On peut soit étudier les variations (dérivée, signe, ...)
soit se rappeler que le sommet de la parabole est en
.
On a alors , et donc la plus petite distance est avec .
- De ,
on calcule:
- On a
et est un vecteur directeur
de .
On a : les vecteurs sont orthogonaux donc les droites et sont orthogonales. - est orthogonal au plan horizontal d'équation .
Comme A et appartiennent à ce plan le vecteur
est orthogonal au vecteur .
Donc le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan ,donc la droite est orthogonale au plan . Le point est donc le projeté orthogonal de O sur le plan , donc O est la distance la plus courte du point O au plan .
- On peut prendre la base qui est un triangle rectangle en ,
avec
et donc .
On a donc .
D'autre part, la hauteur correspondante est .
On obtient finalement
Cacher la correction
Exercice 9: Bac 2018, Pondichéry - Droite, plan, intersection
Dans l'espace muni du repère orthonormé d'unité 1 cm, on considère les points
A, B, C et D de coordonnées respectives (2 ; 1 ; 4), (4 ; -1 ; 0), (0 ; 3 ; 2) et (4 ; 3 ; -2).
Cacher la correction
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CD).
- Soit M un point de la droite (CD).
- Déterminer les coordonnées du point M tel que la distance BM soit minimale.
- On note H le point de la droite (CD) ayant pour coordonnées (3 ; 3 ; - 1). Vérifier que les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires.
- Montrer que l'aire du triangle BCD est égale à .
-
- Démontrer que le vecteur est un vecteur normal au plan (BCD).
- Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par A et orthogonale au plan (BCD).
- Démontrer que le point I, intersection de la droite et du plan (BCD) a pour coordonnées .
- Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
Correction exercice 9
- est un vecteur directeur de la droite ,
d'où la représentation paramétrique
- Soit M un point de la droite (CD).
- est minimale si et seulement si est le projeté orthogonal
de sur la droite :
donc et .
Soit , alors il existe tel que
On doit donc avoir
et donc finalement, .
- donc et alors
,
ce qui montre que les droites et sont orthogonales.
De plus, on sait que , donc que ces deux droites sont sécantes en .
On en déduit donc que ces deux droites et sont bien perpendiculaires. - D'après ce qui précède, est la hauteur issue de dans
, et donc
- est minimale si et seulement si est le projeté orthogonal
de sur la droite :
donc et .
-
- On a et , d'où
Ainsi, le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan et ainsi il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan, c'est-à-dire orthogonal au plan . - On déduit de ce qui précède qu'une équation cartésienne du plan
s'écrit sous la forme
avec de plus, par exemple, donc , d'où l'équation
- La droite est orthogonale au plan ) et donc en
est un vecteur directeur, avec de plus , d'où
une représentation paramétrique
- Soit , intersection de la droite et du plan ,
alors
d'une part .
D'autre part, comme , et d'après la question précèdente, il existe un réel tel que les coordonnées de vérifient les équations paramétriques de .
On a donc
et on trouve alors les coordonnées
qui sont les coordonnées recherchées.
- On a et , d'où
- Comme est perpendiculaire au plan en et passe par ,
on en déduit que est la hauteur du tétraèdre de base ,
et donc
avec
d'où le volume du tétraèdre
Cacher la correction
Exercice 10: Bac 2015, Nouvelle Calédonie - Droites perpendiculaires dans l'espace
L'espace est rapporté au repère orthonormé
.
On désigne par l'ensemble des
nombres réels.
On rappelle que deux droites de l'espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.
Soient le point de coordonnées et le vecteur de coordonnées .
On appelle la droite passant par et de vecteur directeur .
On appelle la droite qui admet pour représentation paramétrique
Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'une droite perpendiculaire à la fois à et .
Cacher la correction
On rappelle que deux droites de l'espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.
Soient le point de coordonnées et le vecteur de coordonnées .
On appelle la droite passant par et de vecteur directeur .
On appelle la droite qui admet pour représentation paramétrique
Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'une droite perpendiculaire à la fois à et .
-
- Donner une représentation paramétrique de .
- Donner un vecteur directeur de (on le notera : ).
- Le point appartient-il à ?
- Démontrer que les droites et sont non coplanaires.
- Soit le vecteur .
On définit la droite passant par
et de vecteur directeur et la droite passant
par et parallèle à .
Justifier que les droites et sont
perpendiculaires.
Dans la suite, on admettra que les droites et sont perpendiculaires.
- Soit le plan défini par les droites et et
le plan défini par les droites et .
- Soit le vecteur . Vérifier que est un vecteur normal au plan .
- Montrer que et ne sont pas parallèles.
- Soit la droite d'intersection des plans et . On admettra que le vecteur est un vecteur directeur de . Utiliser les questions précédentes pour prouver qu'il existe une droite de l'espace perpendiculaire à la fois à et à .
Correction exercice 10
-
- Une représentation paramétrique de s'obtient en
traduisant l'égalité avec
soit:
. - Dans la représentation paramétrique, on reconnait qu'un vecteur directeur de est .
- qui a une solution .
Le point appartient à .
- Une représentation paramétrique de s'obtient en
traduisant l'égalité avec
soit:
- Les vecteurs directeurs de et de ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles. Elles sont sécantes s'il existe des réels et tels que: Ce système n'a pas de solution donc il n'existe pas de point commun aux deux droites, elles ne sont donc pas coplanaires.
- Les droites et contiennent le point . Pour montrer qu'elles sont perpendiculaires il suffit de montrer que deux de leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux : . Ainsi, les droites et sont perpendiculaires.
- Les droites et sont aussi perpendiculaires
- est un vecteur normal au plan s'il est
orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires et non nuls de ce
plan et ; or
Le vecteur est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan . Il est par conséquent normal à ce plan. - Si et sont parallèles, vecteur normal au
plan est aussi un vecteur normal au plan ; il est
donc orthogonal à tout vecteur non nul du plan comme
et .
On a bien ,
mais .
Donc n'est pas normal au plan et les deux plans et ne sont pas parallèles.
- est un vecteur normal au plan s'il est
orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires et non nuls de ce
plan et ; or
- est parallèle à et lesquelles
sont respectivement perpendiculaire à et .
Par conséquent la droite est orthogonale aux droites et .
Or cette droite appartient au plan et au plan . Elle est donc perpendiculaire aux droites et . Il existe donc une droite de l'espace perpendiculaire à la droite et à : c'est la droite .
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Exercice 11: Bac 2015 - Géométrie dans l'espace
Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d'unité 1 cm, on considère les points , , , .
Un point se déplace sur la droite dans le sens de vers à la vitesse de 1cm par seconde.
Un point se déplace sur la droite dans le sens de vers à la vitesse de 1cm par seconde.
À l'instant le point est en et le point est en .
On note et les positions des points et au bout de secondes, désignant un nombre réel positif.
On admet que et , ont pour coordonnées : et .
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
-
- La droite est parallèle à l'un des axes , ou . Lequel ?
- La droite se trouve dans un plan parallèle à l'un des plans , ou . Lequel ? On donnera une équation de ce plan .
- Vérifier que la droite , orthogonale au plan , coupe ce plan au point .
- Les droites et sont-elles sécantes ?
-
- Montrer que .
- À quel instant la longueur est-elle minimale?
Correction exercice 11
-
- Un vecteur directeur de la droite est . La droite est donc parallèle à l'axe .
- est un
vecteur directeur de la droite qui est donc incluse dans un
plan parallèle à
Comme le plan a pour équation cartésienne . - On a et
, ce qui montre que ces vecteurs
sont colinéaires, et ainsi que est un point de la droite
.
De plus , et donc .
Ainsi, est bien le point d'intersection de et de .
- est incluse dans , et coupe
en .
Ainsi, si et sont sécantes, elles le sont nécessairement au point .
Or, n'est pas colinéaire à , ce qui montre que .
Ainsi, et ne sont pas sécantes.
On cherche alors et tels que . Or ce système n'a pas de solution, et donc et pas d'intersection et ne sont donc pas sécantes.
-
- donc .
- est positif, donc est minimale quand son carré est minimal.
On définit la fonction sur par l'expression
.
est une fonction du second degré avec .
Ainsi , et donc est décroissante pour , et donc croissante pour .
Ainsi , donc , admet un minimum en .
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Exercice 12: Bac 2014 - Géométrie dans l'espace, dans un tétraèdre…
Dans l'espace, on considère un tétraèdre dont les faces ,
et sont des triangles rectangles et isocèles en A.
On désigne par , et les milieux respectifs des côtés
, et .
On choisit pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé de l'espace.
Tout d'abord, une figure :
Cacher la correction
On choisit pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé de l'espace.
- On désigne par le plan qui passe par A et qui est
orthogonal à la droite (DF).
On note H le point d'intersection du plan et de la droite (DF).- Donner les coordonnées des points D et F.
- Donner une représentation paramétrique de la droite (DF).
- Déterminer une équation cartésienne du plan .
- Calculer les coordonnées du point H.
- Démontrer que l'angle est un angle droit.
- On désigne par un point de la droite et par le
réel tel que .
On note la mesure en radians de l'angle géométrique
.
Le but de cette question est de déterminer la position du point pour que soit maximale.- Démontrer que .
- Démontrer que le triangle est isocèle en . En déduire que .
- Justifier que est maximale si et seulement si
est maximal.
En déduire que est maximale si et seulement si est minimal. - Conclure.
Correction exercice 12
Tout d'abord, une figure :
-
- On a , , et , pour les coordonnées des points directement liés au repère, et alors puisque est le milieu de .
- Une représentation paramétrique de est donnée par où est un point de la droite de paramètre , et est un vecteur directeur de la droite. Cette relation se réécrit sous la forme de la représentation paramétrique: .
- Le plan est orthogonal à , donc
est un vecteur normal à et une équation
cartésienne de est
où est un réel.
De plus, on sait que , et donc que .
Ainsi, une équation cartésienne de est
- Le point est un point de et de ,
donc ses coordonnées sont celles d'un point de paramètre dans
la représentation paramétrique, et qui vérifient également l'équation
du plan: il existe tel que:
et .
En substituant les expressions de , et en fonction du paramètre dans l'équation de , on obtient:
Ainsi, a pour coordonnées , c'est à dire: .
- Les coordonnées des vecteurs et sont:
et .
Comme on travaille avec un repère orthonormé, le produit scalaire des deux vecteurs peut être obtenu avec ces coordonnées, et on a: , ce qui montre que les vecteurs et sont orthogonaux, et donc que l'angle est droit.
- On reconnaît dans le point décrit, le point de paramètre
dans la représentation paramétrique de la droite donnée à la
question 1. b..
- Le point est le milieu du segment , donc ses
coordonnées sont et le
vecteur a pour coordonnées:
,
soit .
On a donc
- On procède de façon analogue pour calculer la longueur :
Le point est le milieu du segment , donc ses coordonnées
sont donc le vecteur
a pour coordonnées:
, soit .
On a donc .
On a donc , et, comme et sont des longueurs, donc des nombres positifs, on a bien et le triangle est isocèle.
Dans le plan , on a la situation:
On a alors, dans le triangle , . Or et , d'où , et donc, . On obtient bien ainsi, .
- désigne la mesure en radians d'un angle géométrique,
et donc .
On a alors , intervalle sur
lequel la fonction sinus est croissante:
On en déduit en particulier que: maximal maximal.
De plus, on a d'après la question précédente, .
Donc, est maximal lorsque est minimal, et donc lorsque est minimal car la fonction carré étant croissante sur , et ont le même sens de variation. - On avait .
En notant , on définit une fonction trinôme du
second degré, donc dérivable sur , et telle que
et qui est donc décroissante
sur
et croissante sur .
En particulier , donc , donc aussi ,
a un minimum en .
La position du point telle que la mesure de l'angle soit maximale est donc celle atteinte pour le paramètre , soit .
- Le point est le milieu du segment , donc ses
coordonnées sont et le
vecteur a pour coordonnées:
,
soit .
Cacher la correction
Exercice 13: Bac 2010 - Représentation paramétrique, distance minimale
Bac S, septembre 2010 4 points
L'espace est rapporté à un repère orthonormal . Soit le plan d'équation : et la droite dont une représentation paramétrique est
Bac S, septembre 2010 4 points
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L'espace est rapporté à un repère orthonormal . Soit le plan d'équation : et la droite dont une représentation paramétrique est
-
- Le point C(1 ; 3 ; 2) appartient-il au plan ? Justifier.
- Démontrer que la droite est incluse dans le plan .
- Soit le plan passant par le point C et orthogonal à la droite .
- Déterminer une équation cartésienne du plan .
- Calculer les coordonnées du point I, point d'intersection du plan et de la droite .
- Montrer que CI .
- Soit un nombre réel et le point de la droite de coordonnées .
- Vérifier que pour tout nombre réel .
- Montrer que CI est la valeur minimale de C lorsque décrit l'ensemble des nombres réels.
Correction exercice 13
Bac S, septembre 2010 4 points
-
- C(1 ; 3 ; 2), faux. Le point C n'appartient pas au plan .
-
Soit un point de .
, vrai quel que soit .
Tout point de est un point de , donc la droite est incluse dans le plan .
-
-
Un vecteur normal au plan est un vecteur directeur de ; d'après la représentation paramétrique les coordonnées d'un vecteur directeur de sont .
Une équation du plan est donc :
.
Or C(1 ; 3 ; 2).
Conclusion : . -
Soit un point de .
.
Donc le point commun I à et à la droite a pour coordonnées . -
On a .
Donc CI.
Conclusion CI .
-
Un vecteur normal au plan est un vecteur directeur de ; d'après la représentation paramétrique les coordonnées d'un vecteur directeur de sont .
- Soit un nombre réel et le point de la droite de coordonnées .
- On calcule les coordonnées de soit . On a .
-
.
Le minimum de ce trinôme somme de deux carrés est obtenue lorsque le premier carré est nul soit pour et la valeur minimale de trinôme est égale à . CI est bien la valeur minimale.
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Voir aussi: