Bac 2022 (11 mai): Un peu de tout dans l'espace

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left( O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp$ , on considère:

le point A de coordonnées ,
la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est: $\la\begin{array}{lcl} x&=&1+2t\\y &=& 2 - t,\\z&=& 2+2t \enar\right. t \in \R$ .

1. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $\mathcal{D}$ . On admet que le point A n'appartient pas à la droite $\mathcal{D}$ .
2. Montrer que le point appartient à la droite $\mathcal{D}$ .
3. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \vec{u}$ .
On note le plan passant par le point A et orthogonal à la droite , et on appelle H le point d'intersection du plan et de la droite . Ainsi, H est le projeté orthogonal de A sur la droite .
1. Montrer que le plan $\mathcal{P}$ admet pour équation cartésienne: .
2. En déduire que le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac79~;~\dfrac{19}{9}~;~\dfrac{16}{9}\right)$ .
3. Calculer la longueur AH. On donnera une valeur exacte.
Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur la droite , par une autre méthode. On rappelle que le point B appartient à la droite et que le vecteur est un vecteur directeur de la droite .
1. Justifier qu'il existe un nombre réel tel que $\overrightarrow{HB} = k\vec{u}$ .
2. Montrer que $k = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|^2}$ .
3. Calculer la valeur du nombre réel et retrouver les coordonnées du point H.
On considère un point C appartenant au plan $\mathcal{P}$ tel que le volume du tétraèdre ABCH soit égal à $\dfrac89$ . Calculer l'aire du triangle ACH.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: $V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et la hauteur relative à cette base.

Correction

Tag:Géométrie dans l'espace

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