Bac 2024 (19 juin): Un peu de tout dans un tétraèdre

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(0 ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.
On considère les points $A(5 ; 5 ; 0)$, $B(0 ; 5 ; 0), C(0 ; 0 ; 10)$ et $D\left(0 ; 0 ;-\frac{5}{2}\right)$.

\[\psset{yunit=.6cm,xunit=.7cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-2,-3.5)(8,11) \psline(-1.7,0)(6,0) \psline(-1,-1)(3,3) \psline(0,-3)(0,11) % \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,10)(2,2)(3,1)(6,2) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,10){.08} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](2,2){.08} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](3,1){.08} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](6,2){.08} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,-2.5){.08} \psline(0,10)(2,2)(3,1)(6,2)(0,10)(3,1) \psline[linestyle=dotted](2,2)(6,2) \psline[linestyle=dotted](2,2)(4.3,4.3) \psline(4.3,4.3)(5.5,5.5) % \rput[r](-.1,-.7){\small$O$} \rput[r](-.3,10.2){$C$} \rput[r](-.3,-2.6){$D$} \rput(1.3,2.1){$B$} \rput(3,.4){$H$} \rput(6.4,1.8){$A$} % \psline{->}(0,0)(.8,.8) \psline{->}(0,0)(0,1) \psline{->}(0,0)(1,0) \rput(.5,-.4){$\vec{j}$} \rput(-.4,.8){$\vec{k}$} \rput(.7,1.2){$\vec{i}$} \end{pspicture} \]


    1. Montrer que $\overrightarrow{n_1}\lp\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\enar\rp$ est un vecteur normal au plan (CAD).
    2. En déduire que le plan (CAD) a pour équation cartésienne : $x-y=0$.

  2. On considère la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\la\begin{array}{l}x=\dfrac52t \\ y=5-\dfrac52t \\ z=0\enar\right.$ où $t \in \R$.
    1. On admet que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (CAD) sont sécants en un point $H$. Justifier que les coordonnées de $H$ sont $\lp\dfrac52 ; \dfrac52 ; 0\rp$.
    2. Démontrer que le point $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan (CAD).

    1. Démontrer que le triangle $A B H$ est rectangle en $H$.
    2. En déduire que l'aire du triangle $A B H$ est égale à $\dfrac{25}{4}$.

    1. Démontrer que (CO) est la hauteur du tétraèdre $A B C H$ issue de $C$.
    2. En déduire le volume du tétraèdre $A B C H$.
      On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: $V=\dfrac13\mathcal{B} h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
  5. On admet que le triangle $A B C$ est rectangle en $B$. Déduire des questions précédentes la distance du point $H$ au plan $(A B C)$.

Correction


Tag:Géométrie dans l'espace

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