Bac 2022 (12 mai): Un peu de tout dans l'espace
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère un cube ABCDEFGH
et on appelle K le milieu du segment [BC].
On se place dans le repère
et on considère le tétraèdre EFGK.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par:
![\[V=\dfrac13\tm\mathcal{B}\tm h\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex12052022/2.png)
où
désigne l'aire d'une base et
la hauteur relative à cette base.
![$$(5.5,5.8)
\psframe(0.2,0.2)(3.7,3.7)%ABFE
\psline(3.7,0.2)(5,1.9)(5,5.4)(3.7,3.7)%BCGF
\psline(5,5.4)(1.5,5.4)(0.2,3.7)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.5,1.9)(5,1.9)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.5,1.9)(1.5,5.4)%DH
\pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0.2,3.7)(5,5.4)(4.35,1.05)%EGK
\uput[dl](0.2,0.2){\small A}\uput[dr](3.7,0.2){\small B}\uput[r](5,1.9){\small C}
\uput[dr](1.5,1.9){\small D}\uput[l](0.2,3.7){\small E}\uput[r](3.7,3.7){\small F}
\uput[ur](5,5.4){\small G}\uput[ul](1.5,5.4){\small H}\uput[dr](4.35,1.05){\small K}
$$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex12052022/5.png)
Correction
On se place dans le repère
![$\left( A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE}\rp$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex12052022/1.png)
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par:
![\[V=\dfrac13\tm\mathcal{B}\tm h\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex12052022/2.png)
où
![$\mathcal{B}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex12052022/3.png)
![$h$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex12052022/4.png)
![$$(5.5,5.8)
\psframe(0.2,0.2)(3.7,3.7)%ABFE
\psline(3.7,0.2)(5,1.9)(5,5.4)(3.7,3.7)%BCGF
\psline(5,5.4)(1.5,5.4)(0.2,3.7)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.5,1.9)(5,1.9)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.5,1.9)(1.5,5.4)%DH
\pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0.2,3.7)(5,5.4)(4.35,1.05)%EGK
\uput[dl](0.2,0.2){\small A}\uput[dr](3.7,0.2){\small B}\uput[r](5,1.9){\small C}
\uput[dr](1.5,1.9){\small D}\uput[l](0.2,3.7){\small E}\uput[r](3.7,3.7){\small F}
\uput[ur](5,5.4){\small G}\uput[ul](1.5,5.4){\small H}\uput[dr](4.35,1.05){\small K}
$$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex12052022/5.png)
- Préciser les coordonnées des points E, F, G et K.
- Montrer que le vecteur
est orthogonal au plan (EGK).
- Démontrer que le plan (EGK) admet pour équation cartésienne :
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite
orthogonale au plan (ECK) passant par F.
- Montrer que le projeté orthogonal L de F sur le plan (EGK) a pour coordonnées
.
- Justifier que la longueur LF est égale à
.
- Calculer l'aire du triangle EFG. En déduire que le volume du tétraèdre EFGK est égal à
.
- Déduire des questions précédentes l'aire du triangle EGK.
- On considère les points P milieu du segment [EG], M milieu du segment [EK] et N milieu du segment[GK]. Déterminer le volume du tétraèdre FPMN.
Correction
Tag:Géométrie dans l'espace
Voir aussi: