Bac 2022 (12 mai): Un peu de tout dans l'espace

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère un cube ABCDEFGH et on appelle K le milieu du segment [BC].
On se place dans le repère $\left( A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE}\rp$ et on considère le tétraèdre EFGK.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par:

$V=\dfrac13\tm\mathcal{B}\tm h$

où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et

la hauteur relative à cette base.

$(5.5,5.8) \psframe(0.2,0.2)(3.7,3.7)%ABFE \psline(3.7,0.2)(5,1.9)(5,5.4)(3.7,3.7)%BCGF \psline(5,5.4)(1.5,5.4)(0.2,3.7)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.5,1.9)(5,1.9)%ADC \psline[linestyle=dashed](1.5,1.9)(1.5,5.4)%DH \pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0.2,3.7)(5,5.4)(4.35,1.05)%EGK \uput[dl](0.2,0.2){\small A}\uput[dr](3.7,0.2){\small B}\uput[r](5,1.9){\small C} \uput[dr](1.5,1.9){\small D}\uput[l](0.2,3.7){\small E}\uput[r](3.7,3.7){\small F} \uput[ur](5,5.4){\small G}\uput[ul](1.5,5.4){\small H}\uput[dr](4.35,1.05){\small K}$

Préciser les coordonnées des points E, F, G et K.
Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}\phantom{-}2\\-2\\\phantom{-}1\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan (EGK).
Démontrer que le plan (EGK) admet pour équation cartésienne :
Déterminer une représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan (ECK) passant par F.
Montrer que le projeté orthogonal L de F sur le plan (EGK) a pour coordonnées $\lp\dfrac59~;~\dfrac49~;~\dfrac79\rp$ .
Justifier que la longueur LF est égale à $\dfrac23$ .
Calculer l'aire du triangle EFG. En déduire que le volume du tétraèdre EFGK est égal à $\dfrac16$ .
Déduire des questions précédentes l'aire du triangle EGK.
On considère les points P milieu du segment [EG], M milieu du segment [EK] et N milieu du segment[GK]. Déterminer le volume du tétraèdre FPMN.

Correction

Tag:Géométrie dans l'espace

Autres sujets au hasard:

Voir aussi:

Quelques devoirs

Devoir corrigé

Géométrie plane et exponentielle

maison de géométrie plane: géométrie plane analytique, vecteurs et équations de droites, exponentielle, tangente

Devoir corrigé

Géométrie plane, équation de droites

géométrie plane analytique, vecteurs et équations de droites, géométrie avec une hyperbole et ses tangentes, courbe représentative de la fonction inverse

Devoir corrigé

Géométrie dans l'espace, tangente à une courbe, étude de fonction avec exponentielle

géométrie dans l'espace, vecteurs et équations de plan, représentation paramétrique d&une droite de l'espace, tangente à une courbe, exponentielle

Devoir corrigé

Géométrie dans l'espace - Étude d'une fonction rationnelle

géométrie dans l'espace, vecteurs et équations de plan, représentation paramétrique d&une droite de l'espace, tangente à une courbe, exponentielle - Analyse: étude d'une fonction: variations, limites, TVI, asymptotes, ...

Devoir corrigé

Convexité et géométrie dans l'espace

étude de la convexité de fonctions (et variations, tangentes, limites, ...) et géométrie dans l'espace