Oral du bac: logarithme et suites

Logarithme, suites récurrentes

  • L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
  • La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
  • Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
    Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
    L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.

Exercice 1: Fonction logarithme népérien, variations et limites

Soit $f la fonction définie sur $]0;+\infty[ par $f(x)=1-\dfrac1x-2\ln(x).
 
Etudier la fonction $f (Sens de variation et limites aux bornes de l'ensemble de définition).
Correction exercice 1
  1. Pour tout $x>0, $f'(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac2x=\dfrac{1-2x}{x^2}.
    \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $0$ &&$\dfrac12$&& $+\infty$ \\\hline $1-2x$ && $+$ &\zb& $-$ &\\\hline $x^2$ &\db& $+$ &$|$& $+$ &\\\hline $f'(x)$ &\db& $-$ &\zb& $+$ &\\\hline &&&$-1+2\ln(2)$&&\\ $g$ && \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.6,-.4)(.6,.4)&& \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.6,.4)(.6,-.4)&\\ &$-\infty$&&&&$-\infty$\\\hline \end{tabular}


    Limite en 0: $f(x)=1-\dfrac1x\left( 1+2x\ln(x)\rp, avec, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x\to0}x\ln(x)=0, donc $\dsp\lim_{x\to0^+}\dfrac1x\lp1+2x\ln(x)\rp=+\infty, et alors, $\dsp\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty.
     
    Limite en $+\infty: $\dsp\lim_{x\to+\infty}1-\dfrac1x=1 et $\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty.
    Ainsi, par addition des limites, $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.



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Exercice 2: Suite récurrente arithmético-géométrique - Suite auxiliaire géométrique

On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0=1$ et par la relation, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac23u_n+1$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Montrer que $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
  3. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-3$.
    1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme et la raison.
    2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    3. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Correction exercice 2
On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0=1$ et par la relation, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac23u_n+1$.
  1. $u_1=\dfrac23u_0+1=\dfrac53$ et $u_2=\dfrac23u_1+1=\dfrac{19}{9}$.
  2. On a $u_1-u_0=\dfrac23\not=u_2-u_1=\dfrac49$ donc $(u_n)$ n'est pas arithmétique.
    De même, $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac53\not=\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{19}{15}$ donc $(u_n)$ n'est pas géométrique non plus.
  3. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-3$.
    1. Pour tout entier $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-3=\dfrac23u_n+1-3=\dfrac23u_n-2=\dfrac23\left( u_n-3\right) =\dfrac23v_n$.
      Ainsi, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac23$ et de premier terme $v_0=u_0-3=-2$.
    2. On en déduit que, pour tout entier $n$, $v_n=v_0q^n=-2\lp\dfrac23\rp^n$.
    3. On obtient alors, $v_n=u_n-3\iff u_n=v_n+3=-2\lp\dfrac23\rp^n+3$.



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Voir aussi:
ccc