Probabilité de maladie de salariés, arbre et loi binomiale, python (d'après Pondichéry)

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.
  • Un salarié malade est absent
  • La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade.
  • Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$.
  • Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$.
On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l'évènement « le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine ». On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$. On a ainsi: $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1: $0 \leqslant p_{n} < 1$.
    1. Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre de probabilité.
    2. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
    1. Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous
      \[\psset{xunit=1.3cm,yunit=.8cm} \begin{pspicture}(0,-3)(5,3) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$E_n$}\rput(0.7,1.2){$p_n$} \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput[l](3.75,2.25){$E_{n+1}$}\rput(2.7,2.2){\dots} \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput[l](3.75,0.75){$\overline{E_{n+1}}$}\rput(2.7,0.7){\dots} % \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{E_n}$}\rput(0.7,-1.2){\dots} \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput[l](3.75,-0.75){$E_{n+1}$}\rput(2.7,-0.7){\dots} \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput[l](3.75,-2.25){$\overline{E_{n+1}}$}\rput(2.7,-2.2){\dots} \end{pspicture}\]


    2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$.
    3. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par
      $u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$. En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$.
    4. En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$.
    5. On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante.
      On considère le programme Python suivant :

      \[\fbox{ \begin{minipage}{8cm} p=0\\ j=1\\ k=4\\ while (p $< 0.05 - 10**(-k))$:\\ \hspace*{1em}$p=0,2*p+ 0,04$\\ \hspace*{1em}$j=j+ 1$\\ print(j) \end{minipage}} \]


      À quoi correspond l'affichage final J ? Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
  3. Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à $p = 0,05$. On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
    1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer l'espérance mathématique $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$.
    2. Calculer la probabilité de l'événément: « le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 ».

Correction
    1. Comme la 1ère semaine le salarié n'est pas malade, on peut commencer l'arbre à l'événement $\overline{E_1}$, qui est certain:

      \[\psset{xunit=1.3cm,yunit=.8cm} \begin{pspicture}(0,-3)(5,3) \rput[r](-.1,0){$E_1$} \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$E_2$}\rput(0.7,1.2){$0,04$} \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput[l](3.75,2.25){$E_3$}\rput(2.7,2.2){0,24} \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput[l](3.75,0.75){$\overline{E_3}$}\rput(2.7,0.7){0,76} % \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{E_2}$}\rput(0.7,-1.2){0,96} \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput[l](3.75,-0.75){$E_3$}\rput(2.7,-0.7){0,04} \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput[l](3.75,-2.25){$\overline{E_3}$}\rput(2.7,-2.2){0,96} \end{pspicture}\]



      et donc,
      \[\begin{array}{ll} p_3=P\left( E_3\right) &=0,04\times 0,24 + 0,96\times 0,04 \\[0.3cm] &=0,048 \end{array} \]
    2. La probabilité que le salarié ait été absent la deuxième semaine sachant qu'il a été absent la troisième semaine, est la probabilité conditionnelle:
      \[ P_{E_3}\left( E_2\right) =\dfrac{P\left( E_2\bigcap E_3\right)}{P(E_3)} =\dfrac{0,04\tm0,24}{0,048} =0,2 \]


    1. \[\psset{xunit=1.3cm,yunit=.8cm} \begin{pspicture}(0,-3)(5,3) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$E_n$}\rput(0.7,1.2){$p_n$} \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput[l](3.75,2.25){$E_{n+1}$}\rput(2.7,2.2){0,24} \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput[l](3.75,0.75){$\overline{E_{n+1}}$}\rput(2.7,0.7){0,76} % \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{E_n}$}\rput(0.7,-1.2){$1-p_n$} \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput[l](3.75,-0.75){$E_{n+1}$}\rput(2.7,-0.7){0,04} \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput[l](3.75,-2.25){$\overline{E_{n+1}}$}\rput(2.7,-2.2){0,96} \end{pspicture}\]

    2. D'après l'arbre précédent, on a, pour tout entier $n\geqslant 1$:
      \[ p_{n+1}=P\left( E_{n+1}\right) =0,24\,p_n+0,04(1-p_n) =0,2p_n+0,04 \]


    3. Pour tout entier $n\geqslant 1$,
      \[ u_{n+1}=p_{n+1}-0,05 =\bigl( 0,2p_n+0,04\bigr)-0,05 =0,2p_n-0,01 =0,2\bigl( p_n-0,05\bigr) =0,2 u_n \]

      La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $0,2$ et de 1er terme $u_1=p_1-0,05=-0,05$, et ainsi, pour tout entier $n\geqslant 1$,
      \[u_n=-0,05\times (0,2)^{n-1} \iff p_n=u_n+0,05=-0,05\times (0,2)^{n-1}+0,05 =0,05\Bigl( 1-(0,2)^{n-1}\Bigr) \]

    4. On a: $\dsp\lim_{n\to+\infty} (0,2)^{n-1}=0$, et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty} p_n=0,05$.
    5. $J$ est le premier rang de la suite $(p_n)$ tel que $p_J\geqslant 0,05-10^{-K}$.
      On est sür que cet algorithme s'arrête car, 0,05 étant la limite de $(p_n)$ et $(p_n)$ étant croissante, pour tout réel $\epsilon$ ($\epsilon=10^{-K}$ dans l'algorithme), l'intervalle $]0,05-\epsilon;0,05+\epsilon[$ contient tous les termes $p_n$ dès que $n$ est assez grand.
      Cet algorithme permet justement de préciser ce "assez grand": dès que $n\geqslant J$, $J$ étant l'entier calculé et affiché par l'algorithme, tous les termes $p_n$ sont dans l'intervalle $]0,05-\epsilon;0,05+\epsilon[$, en particulier, $p_n\geqslant 0,05-10^{-K}$.
    1. On répète $n=220$ fois, de manière identique et indépendante (l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues), le "tirage" aléatoire d'un salarié, expérience dont le succès est l'événement: "le salarié est malade" de probabilité $p=0,05$.
      La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès, c'est-à-dire de salariés malades, et suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(220;0,05)$.
      On a alors, $\mu=E(X)=np=11$ et $\sigma=\sigma(X)=\sqrt{npq}=\sqrt{np(1-p)}\simeq 3,23$.
    2. La probabilité de l'évènement : « le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 »   est:
      \[\begin{array}{ll} P\left( 7\leqslant X\leqslant 15\right) &\simeq 0,784 \enar\]



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