Bac 2021 (sujet 1): Suite récurrente

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

La suite $\left( u_n\rp$ est définie sur $\N$ par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n+1} = \dfrac34u_n + \dfrac14n + 1.\]




  1. Calculer, en détaillant les calculs, $u_1$ et $u_2$ sous forme de fraction irréductible.


    L'extrait, reproduit ci-contre, d'une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.


    \[\begin{tabular}{|c|*2{p{2.4cm}|}}\hline & A&B \\ \hline 1 &$n$&$u_n$\\ \hline 2 &0 &1\\ \hline 3 &1 &1,75\\ \hline 4 &2 &2,5625\\ \hline 5 &3 &3,421875\\ \hline 6 &4 &4,31640625\\ \hline \end{tabular}\]




    1. Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ dans la colonne B ?
    2. Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$.
    2. En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    3. Démontrer que :
      \[\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}n = 1\]


  4. On désigne par $\left( v_n\rp$ la suite définie sur $\N$ par $v_n=u_n-n$
    1. Démontrer que la suite $\left( v_n\rp$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$,on a: $u_n = \lp\dfrac34\rp^n+n$.

Correction


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