Bac 2013 (Liban) - suite récurrente, algorithme

(Bac S, 28 mai 2013, Liban, 4 points)
On considère la suite numérique définie pour tout entier naturel par



Partie A

1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel donné, tous les termes de la suite, du rang au rang . Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
   
   
   
   
2. Pour on obtient l'affichage suivant :
   
    
   
   
   
   
   
    
   
   Pour , les derniers termes affichés sont :
   
    
   
   
   
   
   
   
    
   Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite ?
   
    
3. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , .
   2. Démontrer que, pour tout entier naturel , . La suite est-elle monotone ?
      
   3. Démontrer que la suite est convergente.

Partie B Recherche de la limite de la suite

On considère la suite définie pour tout entier naturel par

1. Démontrer que est une suite arithmétique de raison
   
2. En déduire l'expression de , puis celle de en fonction de .
   
3. Déterminer la limite de la suite .

Correction

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