Oral de Bac - suite récurrente - Conjectures graphiques et suite auxiliaire géométrique

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la suite

définie par

et, pour tout entier

, $$u_{n+1}=\sqrt{10u_n}$ .
On note

la fonction définie par l'expression $$f:x\mapsto \sqrt{10x}$ .

Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction et construire sur l'axe des abscisses les premiers termes , , … de la suite .
Quelles conjectures peut-on faire ?
On pose $$v_n=\ln\left( u_n\right) -\ln(10)$ . Montrer que est une suite géométrique.
En déduire les expressions de , puis de en fonction de .
En déduire que la limite de la suite .

Correction

$\psset{unit=0.8cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1,-1)(12,12) \psline{->}(-.5,0)(12,0) \psline{->}(0,-.5)(0,12) \newcommand{\f}[1]{10 #1 mul 0.5 exp} \psplot{0}{10}{\f{x}} \psplot[linewidth=1.4pt]{0}{12}{\f{x}} \rput(11.6,10.3){$\mathcal{C}_f$} \psplot{-0.2}{12}{x}\rput(11.5,12){$y=x$} \newcommand\fn[2]{% \ifnum#1=1 \f{#2}% \else \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}% \fi } \def\xinit{2} \def\nmax{4} \psline[linestyle=dashed](\xinit,0)(!\xinit\space\f{\xinit})(!\f{\xinit}\space\f{\xinit}) \rput(\xinit,-0.3){$u_0=2$} \multido{\i=1+1}{\nmax}{ \psline[linestyle=dashed](!\fn{\i}{\xinit} \space 0)(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})(!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$} \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.3){$u_\i$} } \def\ninf{20} \psline[linecolor=blue](!\fn{\ninf}{\xinit}\space 0)(!\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit}\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit})(!0\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\ninf}{\xinit}\space -0.3){\blue$\ell$} \rput(!-.3\space\fn{\ninf}{\xinit}){\blue$\ell$} \end{pspicture}$

On peut conjecturer que la suite est strictement croissante, minorée par , majorée par , et convergente vers une limite .
$\begin{array}{ll} v_{n+1}&=\ln\left( u_{n+1}\rp-\ln(10)\\[0.4cm] &=\ln\left( \sqrt{10u_n}\rp-\ln(10)\\[0.4cm] &=\dfrac12\ln(10u_n)-\ln(10)\\[0.4cm] &=\dfrac12\Bigl(\ln(10)+\ln\left( u_n\rp\Bigr)-\ln(10)\\[0.4cm] &=\dfrac12\ln\left( u_n\rp-\dfrac12\ln(10) \\[0.4cm] &=\dfrac12\lp\ln\lp u_n\rp-\ln(10)\rp=\dfrac12 v_n \enar$

Ainsi, la $$\left( v_n\rp$ est géométrique de raison $$\dfrac12$ .
On en déduit que, pour tout entier , $$v_n=\lp\dfrac12\rp^n v_0=\dfrac{1}{2^n}\lp \ln(2)-\ln(10)\rp =-\dfrac{\ln(5)}{2^n}$ , et donc, que $$v_n=\ln\left( u_n\rp-\ln(10)=\ln\left(\dfrac{u_n}{10}\rp \iff u_n=10e^{v_n}$ .
Comme $$\left( v_n\rp$ est une suite géométrique de raison $$-1<q=\dfrac12<1$ , on a $$\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=0$ , et alors, par composition des limites, $$\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}10e^{v_n}=10$ .

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