Oral de Bac - suite récurrente - Conjectures graphiques et suite auxiliaire géométrique
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère la suite 
définie par 
et,
pour tout entier 
, 
.
On note
la fonction définie par l'expression
.
définie par et,
pour tout entier , .
On note
la fonction définie par l'expression
.
- Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction
et construire sur l'axe des abscisses les premiers termes 
,
, … de la suite 
.
Quelles conjectures peut-on faire ? - On pose
.
Montrer que 
est une suite géométrique.
En déduire les expressions de
, puis de 
en fonction de 
.
- En déduire que la limite de la suite
.
Correction
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-
![\psset{unit=0.8cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,12)
\psline{->}(-.5,0)(12,0)
\psline{->}(0,-.5)(0,12)
\newcommand{\f}[1]{10 #1 mul 0.5 exp}
\psplot{0}{10}{\f{x}}
\psplot[linewidth=1.4pt]{0}{12}{\f{x}}
\rput(11.6,10.3){$\mathcal{C}_f$}
\psplot{-0.2}{12}{x}\rput(11.5,12){$y=x$}
\newcommand\fn[2]{%
\ifnum#1=1
\f{#2}%
\else
\f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}%
\fi
}
\def\xinit{2}
\def\nmax{4}
\psline[linestyle=dashed](\xinit,0)(!\xinit\space\f{\xinit})(!\f{\xinit}\space\f{\xinit})
\rput(\xinit,-0.3){$u_0=2$}
\multido{\i=1+1}{\nmax}{
\psline[linestyle=dashed](!\fn{\i}{\xinit} \space 0)(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})(!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
\rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$}
\rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.3){$u_\i$}
}
\def\ninf{20}
\psline[linecolor=blue](!\fn{\ninf}{\xinit}\space 0)(!\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit}\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit})(!0\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit})
\rput(!\fn{\ninf}{\xinit}\space -0.3){\blue$\ell$}
\rput(!-.3\space\fn{\ninf}{\xinit}){\blue$\ell$}
\end{pspicture}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exOral02_c/1.png)
On peut conjecturer que la suite
est strictement croissante,
minorée par 
, majorée par 
, et convergente vers une limite 
.
-
![\begin{array}{ll}
v_{n+1}&=\ln\left( u_{n+1}\rp-\ln(10)\\[0.4cm]
&=\ln\left( \sqrt{10u_n}\rp-\ln(10)\\[0.4cm]
&=\dfrac12\ln(10u_n)-\ln(10)\\[0.4cm]
&=\dfrac12\Bigl(\ln(10)+\ln\left( u_n\rp\Bigr)-\ln(10)\\[0.4cm]
&=\dfrac12\ln\left( u_n\rp-\dfrac12\ln(10) \\[0.4cm]
&=\dfrac12\lp\ln\lp u_n\rp-\ln(10)\rp=\dfrac12 v_n
\enar](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exOral02_c/6.png)
Ainsi, la
est géométrique de raison 
.
On en déduit que, pour tout entier
,
,
et donc, que
.
- Comme
est une suite géométrique de raison
, on a 
, et alors, par
composition des limites,
.
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