Oral de Bac: suite recurrente, fonction, récurrence et convergence monotone

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On définit la suite $(u_n)$ par $u_0=0,3$ et, pour tout entier $n$, par $u_{n+1}=1,8u_n\lp1-u_n\rp$.
  1. Etudier les variations de la fonction $f:x\mapsto 1,8 x(1-x)$ sur $[0;1]$ et montrer que $f\lp\dfrac12\rp\in\lb0;\dfrac12\rb$.
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$, $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac12$.
  3. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
  4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

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