Oral de Bac: suite, récurrence et gendarmes

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout entier $n$, par $u_{n+1}=\dfrac12\left( u_n+n\rp+1$.
  1. Calculer les premiers termes $u_1$ et $u_2$. Donner les résultats sous forme fractionnaire.
  2. Montrer que, pour tout entier $n\geqslant2$, on a $u_n>n$.
  3. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Correction
  1. $u_1=\dfrac12\left( u_0+0\rp+1=\dfrac12\tm1+1=\dfrac32$ et $u_2=\dfrac12\left( u_1+1\rp+1=\dfrac12\left(\dfrac32+1\rp+1=\dfrac94$.
  2. Montrons par récurrence les propriétés $P(n): u_n>n$, pour $n\geqslant2$.
    Initialisation: pour $n=2$, on a $u_2=\dfrac94>2$ et $P(2)$ est donc vraie.
    Hérédité: Supposons que, pour un certain entier $n\geqslant2$, $P(n)$ soit vraie, c'est-à-dire: $u_n>n$
    Alors,
    \[\begin{array}{ll} u_{n+1}&=\dfrac12\left( u_n+n\rp+1\\[.8em] &>\dfrac12\left( n+n\rp+1=n+1\enar\]

    ce qui montre que la propriété $P(n+1)$ est alors aussi vraie.
    Conclusion: on vient de montrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $n\geqslant2$, on a $u_n>n$.
  3. Comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}n=+\infty$, on en déduit d'après le corollaire du théorème des gendarmes que $\dsp\lim_{n\to+\infty}\!u_n=+\infty$.


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