Oral de Bac - Intersection et distance entre un plan (équation cartésienne) et une droite (représentée paramétriquement)

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Dans l'espace muni du repère orthonormal $\left( O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp$ on considère le plan $P$ d'équation $x+y+z-3=0$ ainsi que le point $M(2;-3;1)$.
  1. Le point $M$ est-il dans le plan $P$ ?
  2. Donner une représentation paramétrique de la droite $D$ passant par $M$ et orthogonale à $P$.
  3. Déterminer les coordonnées du point $H$ intersection de $D$ et $P$.
  4. En déduire la distance du point $M$ au plan $P$.

Correction
  1. $x_M + y_M + z_M - 3 = 2 - 3 + 1 - 3 = -3 \not= 0$ donc $M\notin P$.
  2. $\vec{n} (1; 1; 1)$ est un vecteur normal de $P$, la droite $D$ passant par $M$ et orthogonale à $P$ admet donc comme représentatation paramétrique: $\la\begin{array}{ll} x&=2+t\\ y&=-3+t \\ z&=1+t \enar\right.$
  3. Comme $H\in D$, il existe un réel $t$ tel que $H$ ait pour coordonnées $\la\begin{array}{ll} x&=2+t\\ y&=-3+t \\ z&=1+t \enar\right.$ Comme de plus $H\in P$, ses coordonnées vérifient l'équation de $P$ donc $x + y + z - 3 =2+t-3+t+1+t-3 = 0$, soit $3t - 3 = 0$ et donc $t = 1$.
    On a ainsi $H(3; -2; 2)$.
  4. La distance du point $M$ au plan $P$ est $HM$. Comme $\overrightarrow{HM} (-1; -1; -1)$, on a donc $HM = \sqrt{3}$.


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Tag:Géométrie dans l'espace

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