Bac 2021 (15 mars, sujet 2): Distance point à un plan et volume d'une pyramide

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left( O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\rp$ , on considère les points:
A de coordonnées (2 ; 0 ; 0), B de coordonnées (0 ; 3 ; 0) et C de coordonnées (0 ; 0 ; 1).

$\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(12,6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray!20,linestyle=dashed](0,0)(2.4,4.5)(10.4,2) %\psgrid \psline(0,0)(8,0)(10.4,2)(10.4,4.5)(8,2.5)(8,0) \psline(8,2.5)(0,2.5)(0,0) \psline(0,2.5)(2.4,4.5)(10.4,4.5) \psline[linestyle=dashed](0,0)(2.4,2)(2.4,4.5) \psline[linestyle=dashed](2.4,2)(10.4,2) \uput[dl](0,0){A}\uput[u](2.4,4.5){C}\uput[r](10.4,2){B}\uput[d](2.5,2){O} \end{pspicture}$

L'objectif de cet exercice est de calculer l'aire du triangle ABC.

1. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC).
2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : .
On note la droite passant par O et orthogonale au plan (ABC).
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .
2. Montrer que la droite coupe le plan (ABC) au point H de coordonnées $\lp\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{12}{49}~;~\dfrac{36}{49}\rp$ .
3. Calculer la distance OH.
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$ , où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide OABC, déterminer l'aire du triangle ABC.

Correction

Tag:Géométrie dans l'espace

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