fonction logistique à étudier

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère l'équation différentielle $(E): y'=y(10-y)$, avec la condition $y(0)=1$.
On définit la fonction $f$ définie sur $\R_+$ par l'expression $f(x)=\dfrac{10}{9e^{-10x}+1}$.
  1. Montrer que $f$ est solution de l'équation $(E)$.
  2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$, et interpréter, si possible, graphiquement.
  3. Étudier le sens de variation de $f$.
  4. Montrer que, pour tout réel $x\geq0$, on a $f''(x)=f'(x)\bigl(10-2f(x)\bigr)$.
    En déduire la convexité de $f$.
  5. Tracer l'allure de la courbe de $f$ en expolitant tous les résultats précédents.

Correction


Tag:Équations différentielles

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