Devoir corrigé de maths en Terminale générale, spécialité mathématiques

Equations différentielles

Devoir de mathématiques, et corrigé, posé en spé maths, terminale générale, année scolaire 2022/2023

Exercice 1: Nombre de noyaux radioactifs

Nombre de noyaux radioactifs
On note $N(t)$ le nombre de noyaux radioactifs d'un corps à l'instant $t$, où $t$ est exprimé en jours.
On admet que la fonction $N$ est solution de l’équation différentielle $E: y' = ay$, où $a$ est une constante réelle.
  1. Déterminer la fonction $N(t)$ solution de l'équation différentielle $E$, sachant que $N (0) = 10^9$.
  2. Au bout de 18 jours, le nombre de noyaux radioactifs a diminué de moitié.
    En déduire la valeur exacte de $a$.
  3. Au bout de combien de jours le le nombre de noyaux radioactifs deviendra-t-il inférieur à 100 ?

Correction exercice 1
  1. $E$ est une équation sans second membre $y'=ay$ dont la solution est directement $N(t)=ke^{at}$, $k\in\R$.
    De plus, on a $N(0)=10^9$ d'une part, et d'autre part, $N(0)=ke^0=k$.
    On en déduit que $k=10^9$, et donc que la solution de $E$ recherchée est $N(t)=10^9e^{at}$.
  2. Pour $t=18$, on a
    \[N(18)=\dfrac{N(0)}2=\dfrac{10^9}2=10^9e^{18a}\]

    On en déduit que
    \[e^{18a}=\dfrac12\iff a=-\dfrac1{18}\ln(2)\]

  3. On cherche $t$ tel que
    \[\begin{array}{ll}N(t)<100 &\iff 10^9e^{at}<100\\ &\iff e^{at}<\dfrac{100}{10^9}=10^{-7}\enar\]

    puis, en appliquant la fonction ln qui est strictement croissante,
    \[at<\ln(10^{-7})=-7\ln(10)\]

    et enfin, en divisant par $a<0$, on trouve
    \[t>-\dfrac7a\ln(10)=7\tm18\dfrac{\ln(10)}{\ln(2)}\simeq418\]

    soit au cours du 418ème jour.



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Exercice 2: Equation différentielle, exponentielle (Bac 2009, Antilles-Guyane)

La température de refroidissement d'un objet fabriqué industriellement est une fonction $f$ du temps $t$. Cette fonction $f$ est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs et vérifie l'équation différentielle:
\[y'(t)+\dfrac12y(t)=10\]

La température est exprimée en degrés Celsius ($^\circ$C) et le temps $t$ en heures.
  1. Déterminer $f(t)$ pour $t\geqslant0$, sachant que pour $t=0$, la température de l'objet est 220 $^\circ$C.
  2. Pour la suite, on prendra comme fonction $f$, la fonction suivante définie sur $\R^+$ par
    \[f(t)=200e^{-\frac{t}2}+20\]

    On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
    1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R^+$.
    2. Étudier la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. La courbe $\mathcal{C}$ admet-elle une asymptote en $+\infty$ ?
    3. Représenter graphiquement $\mathcal{D}$.
  3. Déterminer le moment où la température de l'objet est 50 $^\circ$C.
    Donner une valeur approchée de ce moment en heures et minutes.

Correction exercice 2
D'après Bac S, Antilles-Guyane, 23 juin 2009
  1. Les solutions de l'équation différentielle: sont $f(t)=ke^{-\frac12t}+20$, pour tout réel $k$.
    On sait de plus que $f(0)=220$, soit $k+20=220\iff k=200$.
    Ainsi, la température de l'objet est $f(t)=200e^{-\frac{t}2}+20$.
    1. Comme $\left( e^u\rp'=u'e^u$, on a $f'(t)=200\lp-\dfrac12e^{-\frac{t}2}\right) =-100e^{-\frac{t}2}$. Comme $e^x>0$ pour tout réel $x$, on trouve donc que $f'(t)<0$ et donc que $f$ est strictement décroissante.
    2. On a $\dsp\lim_{t\to+\infty}e^{-\frac12t}=0$ et donc $\dsp\lim_{t\to+\infty}f(t)=20$, et donc la droite d'équation $y=20$ est asymptote en $+\infty$ à $\mathcal{C}$.

    3. \[\psset{xunit=1cm,yunit=.02cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(-1,-20)(10,280) \psline{->}(-.5,0)(8,0) \psline{->}(0,-5)(0,280) \psplot[linecolor=blue]{0}{8}{200 2.718 -.5 x mul exp mul 20 add} \rput(1.3,150){\blue$\mathcal{C}$} \psline(-.1,20)(8,20) \rput(1.3,32){$\mathcal{D}$} \rput[r](-.2,21){$20$} \rput[r](-.2,220){$220$} \multido{\i=1+1}{7}{\psline(\i,-5)(\i,5)\rput(\i,-15){\i}} \end{pspicture}\]


  3. Le moment $t$ où la température de l'objet est 50 $^\circ$C est
    \[\begin{array}{lcl} &&f(t)=200e^{-\frac{t}2}+20=50\\[1em] &\iff& e^{-\frac{t}2}=\dfrac{30}{200}=\dfrac{3}{20}\\[1em] &\iff& -\dfrac{t}2=\ln\lp\dfrac3{20}\rp\\[1em] &\iff& t=-2\ln\lp\dfrac3{20}\rp\simeq3,8\enar\]

    soit environ 3 heures et 48 minutes.



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Exercice 3: Equation différentielle du 1er ordre - Convexité de la solution

On considère l'équation différentielle $(E): y'+y=e^{-x}$.
  1. Montrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=xe^{-x}$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
  2. On considère l'équation différentielle $(E'): y'+y=0$. Résoudre l'équation différentielle $(E')$.
  3. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
  4. Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $g(0)=2$.
  5. Étudier la convexité de $g$ sur $\R$.

Correction exercice 3
D'après Bac S, métropole, 22 juin 2010
On considère l'équation différentielle $(E): y'+y=e^{-x}$.
  1. $u'(x)=e^{-x}+x\lp-e^{-x}\rp=e^{-x}-xe^{x}$ et donc
    \[u'(x)+u(x)=e^{-x}-xe^{x}+xe^{-x}=e^{-x}\]

    ce qui montre que $u$ est bien solution de $(E)$.
  2. Les solutions de $(E'):y'+y=0\iff y'=-y$ sont les fonctions définies par $y_0(x)=ke^{-x}$, pour tout réel $k$.
  3. Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont alors $y=y_0+u$, soit, pour tout réel $k$, $y(x)=ke^{-x}+xe^{-x}=(x+k)e^{-x}$.
  4. $g$ est une solution, donc $g$ s'écrit sous la forme $y(x)=ke^{-x}+xe^{-x}=(x+k)e^{-x}$.
    De plus, $g(0)=2\iff k=2$, d'où $g(x)=(x+2)e^{-x}$.

  5. \[g'(x)=-g(x)+e^{-x}=-(x+2)e^{-x}+e^{-x}=-(x+1)e^{-x}\]

    Pour calculer la dérivée seconde, on peut soit dériver à nouveau ce produit, soit utiliser l'équation différentielle. Comme $g$ est solution de $(E)$, on a
    \[g'(x)=-g(x)+e^{-x}\]

    et donc, en dérivant
    \[g''(x)=-g'(x)-e^{-x}\]

    soit,
    \[g''(x)=(x+1)e^{-x}-e^{-x}=xe^{-x}\]

    Comme $e^{-x}>0$ pour tout réel $x$, on obtient donc que pour $x<0$, $g''(x)<0$ et donc $g$ est concave, et pour $x>0$, $g''(x)>0$ et donc $g$ est convexe.
    Enfin la courbe de $g$ admet un unique point d'inflexion en $x=0$.



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Exercice 4: Changement de variable dans une équation différentielle

Se ramener à une équation différentielle connue
On considère l'équation différentielle $E: y'=2y-3y^2$.
On cherche une solution $f$ de cette équation telle que $f(0)=\dfrac12$.
  1. Supposons que $f$ soit une solution de l'équation différentielle $E$.
    On pose alors $f=\dfrac1g$, en supposant que la fonction $g$ ne s'annule pas, et on note $E'$ l'équation $E': y'=-2y+3$.
    Montrer que $f$ solution de $E$ si et seulement si $g$ solution de $E'$.
    1. Préciser la valeur de $g(0)$.
    2. Déterminer la solution $g$ de l'équation $E'$.
    3. En déduire la solution $f$ de $(E)$.

Correction exercice 4
  1. Pour $f=\dfrac1g$, on a $f'=-\dfrac{g'}{g^2}$.
    $f$ solution de $E$ signifie que $f'=2f-3f^2$,
    soit donc $-\dfrac{g'}{g^2}=2\dfrac1g-3\dfrac1{g^2}$.
    Comme $g$ ne s'annule, $g^2$ non plus, et on peut multiplier cette équation par $g^2$, pour obtenir l'équation $-g'=2g-3\iff g'=-2g+3$ qui montre que $g$ est solution de l'équation $E'$.
    1. On a $f(0)=\dfrac12=\dfrac1{g(0)}$ et donc $g(0)=2$.
    2. L'équation $E'$ se résout simplement: c'est une équation différentielle linéaire à coefficients constants de solution $g(x)=ke^{-2x}+\dfrac32$.
      Comme on a vu que $g(0)=2$, on a alors $k+\dfrac32=2\iff k=\dfrac12$, d'où $g(x)=\dfrac12e^{-2x}+\dfrac32$.
    3. On revient enfin à l'équation $E$ par la transformation
      \[\begin{array}{ll}f(x)&=\dfrac1{g(x)}\\ &=\dfrac1{\dfrac12e^{-2x}+\dfrac32}\\ &=\dfrac2{e^{-2x}+3}\enar\]

      qui est donc la solution recherchée de l'équation $E$.



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Voir aussi:
ccc