fonction logistique à étudier

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère l'équation différentielle $(E): y'=y(10-y)$, avec la condition $y(0)=1$.
On définit la fonction $f$ définie sur $\R_+$ par l'expression $f(x)=\dfrac{10}{9e^{-10x}+1}$.
  1. Montrer que $f$ est solution de l'équation $(E)$.
  2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$, et interpréter, si possible, graphiquement.
  3. Étudier le sens de variation de $f$.
  4. Montrer que, pour tout réel $x\geq0$, on a $f''(x)=f'(x)\bigl(10-2f(x)\bigr)$.
    En déduire la convexité de $f$.
  5. Tracer l'allure de la courbe de $f$ en expolitant tous les résultats précédents.

Correction
  1. On a $f=10\tm\dfrac1u$ avec $u(x)=9e^{-10x}+1$ soit $u=9e^v+1$, donc $u'=9v'e^v$, donc encore $u'(x)=-90e^{-10x}$, et donc $f'=-10\tm\dfrac{u'}{u^2}$, soit
    \[f'(x)=-10\dfrac{-90e^{-10x}}{\lp9e^{-10x}+1\rp^2} =\dfrac{900e^{-10x}}{\lp9e^{-10x}+1\rp^2} \]

    D'utre part, on a
    \[\begin{array}{ll}f(x)\lp10-f(x)\right) &=\dfrac{10}{9e^{-10x}+1}\lp10-\dfrac{10}{9e^{-10x}+1}\rp\\ &=\dfrac{10}{9e^{-10x}+1}\lp\dfrac{9e^{-10x}}{9e^{-10x}+1}\rp\\ &=\dfrac{900e^{-10x}}{\lp9e^{-10x}+1\rp^2} \enar\]

    On trouve donc bien que $f'=f(10-f)$, c'est-à-dire que $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
    De plus, $f$ vérifie aussi la condition initiale $f(0)=\dfrac{10}{9\tm1+1}=1$.
  2. On a $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-10x}=0$ et donc $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=10$.
    On en déduit que la droite d'équation $y=10$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$.
  3. À la première question, on a vu que
    \[f'(x)=\dfrac{900e^{-10x}}{\lp9e^{-10x}+1\rp^2}\]

    et, comme $e^x>0$ pour tout réel $x$, on trouve que $f'(x)>0$, et donc que $f$ est strictement croissante sur $\R_+$.
  4. La convexité de $f$ est donnée par le signe de sa dérivée seconde.
    On peut soit calculer celle-ci à partir du résultat de la première question, soit utiliser le fait que $f$ est solution de l'équation $(E)$.
    En effet, on sait que $f$ solution de $(E)$, c'est-à-dire que $f'=f(10-f)$. En dérivant cette relation, on obtient (en dérivant le produit)
    \[f''=f'(10-f) + f(-f')=f'(10-f-f)=f'(10-2f)\]

    On a vu que $f'>0$, et le signe de $f''$ est donc donné par celui de $10-2f$:
    \[\begin{array}{rl}10-2f(x)>0 \iff&f(x)<5\\ \iff&\dfrac{10}{9e^{-10x}+1}<5\\ \iff&\dfrac{9e^{-10x}+1}{10}>\dfrac15\\ \iff&9e^{-10x}+1>\dfrac{10}5=2\\ \iff&e^{-10x}>\dfrac19\\ \iff&-10x>\ln(1/9)=-\ln(9)\\ \iff&x<\dfrac{\ln(9)}{10} \enar\]

    On en déduit que $f$ est convexe sur $\lb0;\frac{\ln(9)}{10}\rb$, et est concave sur $\Big[\frac{\ln(9)}{10};+\infty\Big[$
    En particulier, le point d'abscisse $\dfrac{\ln(9)}{10}$ est un point d'inflexion pour la courbe de $f$.
  5. On trace l'allure de la courbe avec, impérativement, $f(0)=1$, $f$ croissante, l'asymptote $y=10$, et le point d'inflexion et la tangente en ce point (la courbe traverse la tangente en un point d'inflexion...):
    \[\psset{xunit=12cm,yunit=1,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(0,-1)(1,11) \psline{->}(-.02,0)(.8,0) \psline{->}(0,-.5)(0,11) \psplot{0}{1}{10 9 2.718 -10 x mul exp mul 1 add div} \rput[r](-.025,1){1} \psline(-.02,10)(1,10) \rput[r](-0.025,10){10} \psline[linestyle=dashed](0,5)(0.22,5)(0.22,0) \rput[r](-.025,5){5} \rput(.22,-.6){$\dfrac{\ln(9)}{10}$} \psplot{0}{.4}{25 x 0.22 sub mul 5 add} \end{pspicture}\]



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