Sujet 0, Bac 2021: Équation différentielle, exponentielle, suite

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de $225\,^\circ\text{C}$.
On s’intéresse à l’évolution de la température d’une baguette après sa sortie du four.
On admet qu’on peut modéliser cette évolution à l’aide d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$.
Dans cette modélisation, $f(t)$ représente la température en degré Celsius de la baguette au bout de la durée $t$, exprimée en heure, après la sortie du four.
Ainsi,$f(0,5)$ représente la température d’une baguette une demi-heure après la sortie du four.
Dans tout l’exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à $25\,^\circ\text{C}$.
On admet alors que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $y'+ 6y = 150$.


    1. Préciser la valeur de $f(0)$.
    2. Résoudre l'équation différentielle $y'+6y = 150$.
    3. En déduire que pour tout réel $t\geqslant 0$, on a $f(t) = 200 e^{-6t}+25$.
  2. Par expérience, on observe que la température d’une baguette sortant du four :
    • décroît ;
    • tend à se stabiliser à la température ambiante.

    La fonction $f$ fournit-elle un modèle en accord avec ces observations ?
  3. Montrer que l’équation $f(t) = 40$ admet une unique solution dans $[0~;~+\infty[ $.
    Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à $40\,^\circ\text{C}$. On note $\mathcal{T}_0$ le temps d’attente minimal entre la sortie du four d’une baguette et sa mise en rayon.
    On donne en page suivante la représentation graphique de la fonction $f $dans un repère orthogonal.

    \[\psset{xunit=5cm,yunit=0.025cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true,labelsep=0.1pt} \begin{pspicture}(-0.4,-20)(2.50,260) \multido{\n=0.0+0.1}{23}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-20)(\n,260)} \multido{\n=0+20}{14}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(2.1,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(2.1,260) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{2.1}{2.71828 x 6 mul neg exp 200 mul 25 add} \uput[d](1.75,-15){\footnotesize Dur\'ee en heure} \uput[r](0,250){\footnotesize Temp\'erature en degr\'e Celsius} \uput[ur](0.3,60){\blue $\mathcal{C}_f$} \end{pspicture}\]


  4. Avec la précision permise par le graphique, lire $\mathcal{T}_0$. On donnera une valeur approchée de $\mathcal{T}_0$ sous forme d’un nombre entier de minutes.
  5. On s’intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d’une baguette à sa sortie du four.
    Ainsi, pour un entier naturel $n$, $\mathcal{D}_n$ désigne la diminution de température en degré Celsius d’une baguette entre la $n$-ième et la $(n+1)$-ième minute après sa sortie du four.
    On admet que, pour tout entier naturel $n$ :

    \[\mathcal{D}_n=f\left(\dfrac{n}{60}\right)-f\left(\dfrac{n+1}{60}\right).\]




    1. Vérifier que 19 est une valeur approchée de $\mathcal{D}_0$ à 0,1 près, et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    2. Vérifier que l’on a, pour tout entier naturel $n$:
      \[\mathcal{D}_n = 200 e^{-0,1n}\left(1 - e^{-0,1}\right).\]

      En déduire le sens de variation de la suite $\left(\mathcal{D}_n\right)$, puis la limite de la suite $\left(\mathcal{D}_n\right)$.
      Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l’exercice ?

Correction


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