Équation différentielle du premier ordre

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère l'équation différentielle $(E): y'+y=e^{-x}$.
  1. Montrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=xe^{-x}$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
  2. On considère l'équation différentielle $(E'): y'+y=0$. Résoudre l'équation différentielle $(E')$.
  3. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
  4. Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $g(0)=2$.
  5. Étudier la convexité de $g$ sur $\R$.

Correction
D'après Bac S, métropole, 22 juin 2010
On considère l'équation différentielle $(E): y'+y=e^{-x}$.
  1. $u'(x)=e^{-x}+x\lp-e^{-x}\rp=e^{-x}-xe^{x}$ et donc
    \[u'(x)+u(x)=e^{-x}-xe^{x}+xe^{-x}=e^{-x}\]

    ce qui montre que $u$ est bien solution de $(E)$.
  2. Les solutions de $(E'):y'+y=0\iff y'=-y$ sont les fonctions définies par $y_0(x)=ke^{-x}$, pour tout réel $k$.
  3. Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont alors $y=y_0+u$, soit, pour tout réel $k$, $y(x)=ke^{-x}+xe^{-x}=(x+k)e^{-x}$.
  4. $g$ est une solution, donc $g$ s'écrit sous la forme $y(x)=ke^{-x}+xe^{-x}=(x+k)e^{-x}$.
    De plus, $g(0)=2\iff k=2$, d'où $g(x)=(x+2)e^{-x}$.

  5. \[g'(x)=-g(x)+e^{-x}=-(x+2)e^{-x}+e^{-x}=-(x+1)e^{-x}\]

    Pour calculer la dérivée seconde, on peut soit dériver à nouveau ce produit, soit utiliser l'équation différentielle. Comme $g$ est solution de $(E)$, on a
    \[g'(x)=-g(x)+e^{-x}\]

    et donc, en dérivant
    \[g''(x)=-g'(x)-e^{-x}\]

    soit,
    \[g''(x)=(x+1)e^{-x}-e^{-x}=xe^{-x}\]

    Comme $e^{-x}>0$ pour tout réel $x$, on obtient donc que pour $x<0$, $g''(x)<0$ et donc $g$ est concave, et pour $x>0$, $g''(x)>0$ et donc $g$ est convexe.
    Enfin la courbe de $g$ admet un unique point d'inflexion en $x=0$.


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