Bac 2009 (Antilles-Guyane): Équation différentielle, exponentielle, suite

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

La température de refroidissement d'un objet fabriqué industriellement est une fonction $f$ du temps $t$. Cette fonction $f$ est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs et vérifie l'équation différentielle:
\[y'(t)+\dfrac12y(t)=10\]

La température est exprimée en degrés Celsius ($^\circ$C) et le temps $t$ en heures.
  1. Déterminer $f(t)$ pour $t\geqslant0$, sachant que pour $t=0$, la température de l'objet est 220 $^\circ$C.
  2. Pour la suite, on prendra comme fonction $f$, la fonction suivante définie sur $\R^+$ par
    \[f(t)=200e^{-\frac{t}2}+20\]

    On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
    1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R^+$.
    2. Étudier la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. La courbe $\mathcal{C}$ admet-elle une asymptote en $+\infty$ ?
    3. Représenter graphiquement $\mathcal{D}$.
  3. Déterminer le moment où la température de l'objet est 50 $^\circ$C.
    Donner une valeur approchée de ce moment en heures et minutes.

Correction


Tag:Équations différentielles

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