Bac 2021 (8 juin 2021): étude de fonction avec exponentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Partie 1

On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la fonction dérivée $f'$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$.
À l'aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses :


  1. Le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
  2. La convexité de la fonction $f$ sur $\R$.


\[\psset{unit=1.2cm,arrowsize=8pt 3} \begin{pspicture*}(-3.25,-2)(5.25,4.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](-2,-1)(4,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2,-1.25)(4,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{4}{1 x add 2.71828 x exp div neg} \rput(1,-1.5){Courbe repr\'esentant la \textbf{d\'eriv\'ee} $f'$ de la fonction $f$.} \end{pspicture*}\]




Partie 2



On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la Partie 1 est définie sur $\R$ par :
\[f(x) = (x + 2)e^{-x}\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\left( O;\vec{i},\vec{i}\rp$.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, et on note $f'$ et $f''$ les fonctions dérivées première et seconde de $f$ respectivement.


  1. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f(x) = \dfrac{x}{e^{x}}+ 2e^{-x}$.
    En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
    Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l'on précisera.
    On admet que $\dsp\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
    1. Montrer que, pour tout nombre réel $x$,  $f'(x)=(-x-1)e^{-x}$.
    2. Étudier les variations sur $\R$ de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations.
    3. Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[-2~;~-1]$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
  3. Déterminer, pour tout nombre réel $x$, l'expression de $f''(x)$ et étudier la convexité de la fonction $f$.
    Que représente pour la courbe $\mathcal{C}$ son point A d'abscisse $0$ ?

Correction
Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Métropole 8 juin 2021
Partie 1

  1. D'après la courbe représentant la fonction dérivée $f'$:
    • la fonction $f'$ est positive sur $]-\infty~;~1[$ donc la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle;
    • la fonction $f'$ est négative sur $]1~;~+\infty[$ donc la fonction $f$ est décroissante sur cet intervalle.

  2. D'après la courbe représentant la fonction dérivée $f'$:
    • la fonction $f'$ est décroissante sur $]-\infty~;~0[$ donc la fonction $f$ est concave sur cet intervalle;
    • la fonction $f'$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$ donc la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle.

Partie 2

On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la Partie 1 est définie sur $\R$ par: $f(x) = (x + 2)e^{-x}.$
  1. Pour tout nombre réel $x$, $f(x) = (x + 2)e^{-x}=xe^{-x}+2e^{-x}= \dfrac{x}{e^{x}}+ 2e^{-x}$.
    Par croissances comparées on a: $\dsp\lim_{x \to ++ \infty} \dfrac{e^{x}}{x}= +\infty$ donc $\dsp\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{e^{x}}= 0$.
    De plus $\dsp\lim_{x \to + \infty}e^{-x}= 0$ donc $\dsp\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.
    On en déduit que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y=0$, c'est-à-dire l'axe des abscisses, comme asymptote horizontale en $+\infty$.

    1. $f'(x)=1\times e^{-x} + (x+2)\times (-1)e^{-x} = (1-x-2)e^{-x}=(-x-1)e^{-x}$.
    2. Pour tout $x$, $e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-x-1$; donc $f'(x)$ s'annule et change de signe en $x=-1$.
      $f(-1) = (-1+2)e^{1}=e$; on établit le tableau de variations de $f$ sur $\R$:

      \[{\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \psset{nodesep=1pt,arrowsize=5pt 3} \def\esp{\hspace*{2.5cm}} \def\hauteur{0pt} \begin{array}{|c|l*4{c}|} \hline x & -\infty & \esp & -1 & \esp & +\infty \\ \hline -x-1 & & + & \vline\hspace{-2.7pt}0 & - & \\ \hline f'(x) & & + & \vline\hspace{-2.7pt}0 & - & \\ \hline & & & \Rnode{max}{e} & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{-\infty} & & & & \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array}}\]

    3. Sur l'intervalle $[-2~;~-1]$, la fonction $f$ est strictement croissante et continue car dérivable sur cetintervalle. $f(-2)=0<2$ et $f(-1)=e>2$ donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), l'équation $f(x)=2$ admet une solution unique sur l'intervalle $[-2~;~-1]$.
      Avec la calculatrice, on trouve $\alpha\simeq-1,6$.

  3. $f''(x)=(-1)\times e^{-x} + (-x-1)\times(-1)e^{-x} = (-1+x+1)e^{-x}=x e^{-x}$
    $e^{-x}>0$ pour tout $x$, donc $f''(x)$ est du signe de $x$.
    • Sur $]-\infty~;~0[$, $f''(x)<0$ donc la fonction $f$ est concave.
    • Sur $]0~;~+\infty[$, $f''(x)>0$ donc la fonction $f$ est convexe.
    • En $x=0$, la dérivée seconde s'annule et change de signe donc le point A d'abscisse 0 de $\mathcal{C}$ est le point d'inflexion de cette courbe.



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