Bac 2021 (8 juin 2021): étude de fonction avec exponentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Partie 1

On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la fonction dérivée

d'une fonction

dérivable sur $\R$ .
À l'aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses :

Le sens de variation de la fonction sur $\R$ .
La convexité de la fonction sur $\R$ .

$\psset{unit=1.2cm,arrowsize=8pt 3} \begin{pspicture*}(-3.25,-2)(5.25,4.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](-2,-1)(4,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2,-1.25)(4,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{4}{1 x add 2.71828 x exp div neg} \rput(1,-1.5){Courbe repr\'esentant la \textbf{d\'eriv\'ee} $f'$ de la fonction $f$.} \end{pspicture*}$

Partie 2

On admet que la fonction

mentionnée dans la Partie 1 est définie sur $\R$ par :

$f(x) = (x + 2)e^{-x}$

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de

dans un repère orthonormé $\left( O;\vec{i},\vec{i}\rp$ .
On admet que la fonction

est deux fois dérivable sur $\R$ , et on note

les fonctions dérivées première et seconde de

respectivement.

Montrer que, pour tout nombre réel , $f(x) = \dfrac{x}{e^{x}}+ 2e^{-x}$ .
En déduire la limite de en $+ \infty$ .
Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l'on précisera.
On admet que $\dsp\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$ .
1. Montrer que, pour tout nombre réel , $f'(x)=(-x-1)e^{-x}$ .
2. Étudier les variations sur $\R$ de la fonction et dresser son tableau de variations.
3. Montrer que l'équation admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
Déterminer, pour tout nombre réel , l'expression de et étudier la convexité de la fonction .
Que représente pour la courbe $\mathcal{C}$ son point A d'abscisse ?

Correction

Tag:Exponentielle

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