Bac 2021 (8 juin 2021): étude de fonction avec exponentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Partie 1

On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la fonction dérivée $f'$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$.
À l'aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses :


  1. Le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
  2. La convexité de la fonction $f$ sur $\R$.


\[\psset{unit=1.2cm,arrowsize=8pt 3} \begin{pspicture*}(-3.25,-2)(5.25,4.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](-2,-1)(4,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2,-1.25)(4,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{4}{1 x add 2.71828 x exp div neg} \rput(1,-1.5){Courbe repr\'esentant la \textbf{d\'eriv\'ee} $f'$ de la fonction $f$.} \end{pspicture*}\]




Partie 2



On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la Partie 1 est définie sur $\R$ par :
\[f(x) = (x + 2)e^{-x}\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\left( O;\vec{i},\vec{i}\rp$.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, et on note $f'$ et $f''$ les fonctions dérivées première et seconde de $f$ respectivement.


  1. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f(x) = \dfrac{x}{e^{x}}+ 2e^{-x}$.
    En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
    Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l'on précisera.
    On admet que $\dsp\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
    1. Montrer que, pour tout nombre réel $x$,  $f'(x)=(-x-1)e^{-x}$.
    2. Étudier les variations sur $\R$ de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations.
    3. Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[-2~;~-1]$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
  3. Déterminer, pour tout nombre réel $x$, l'expression de $f''(x)$ et étudier la convexité de la fonction $f$.
    Que représente pour la courbe $\mathcal{C}$ son point A d'abscisse $0$ ?

Correction


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