Bac 2021 (7 juin): Orthogonalité dans l'espace et minimisation d'une distance et volume d'une pyramide

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Dans un repère orthonormé $\left( O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp$ on considère
  • le point A de coordonnées (1 ; 3 ; 2),
  • le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\\end{pmatrix}$
  • la droite $d$ passant par l'origine O du repère et admettant pour vecteur directeur $\vec{u}$.


Le but de cet exercice est de déterminer le point de $d$ le plus proche du point A et d'étudier quelques propriétés de ce point.
On pourra s'appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.

\[\psset{unit=1.6cm} \begin{pspicture}(-1.9,-2)(4,2.5) \psline{->}(-1.7,0)(4,0) \psline{->}(0,0)(-1,-1.5) \psline{->}(0,-1.8)(0,2.5) \rput(-1.2,-1.5){$x$} \rput(3.95,.2){$y$} \rput(-.15,2.4){$z$} \psline(-1,.08)(-1,-.08)\psline(1,.08)(1,-.08)\psline(2,.08)(2,-.08)\psline(3,.08)(3,-.08) \psline(-.08,-1)(.08,-1)\psline(-.08,1)(.08,1)\psline(-.08,2)(.08,2) \psline(-.41,-.5)(-.25,-.5) \psline(-.73,-1)(-.58,-1) % rep\`ere \psline[arrowsize=7pt,linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[arrowsize=7pt,linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1) \psline[arrowsize=7pt,linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(-.35,-.5) \rput(-.5,-.4){$\vec{i}$} \rput(-.2,.7){$\vec{k}$} \rput(.8,.25){$\vec{j}$} %droite d \psline(-1,1)(2,-2)\rput(.25,-.5){$\vec{u}$} \psline[arrowsize=8pt]{->}(0,0)(.5,-.5) % \psline(0,0)(2.5,1.5)(2.5,-.5)(1.2,-1.2) \rput(2.65,1.65){A} \psline[linestyle=dashed](0,0)(2.5,-.5) \rput(2.65,-.65){A'} \psline(2.5,1.5)(1.2,-1.2) \rput(1,-1.3){$M_0$} %\psline(-4,-.5)(4,-.5) \end{pspicture}\]

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
  2. Soit $t$ un nombre réel quelconque, et $M$ un point de la droite $d$, le point $M$ ayant pour coordonnées $(t~;~t~;~0)$.
    1. On note AM la distance entre les points A et M. Démontrer que:

      \[AM^2 = 2t^2 - 8t+ 14.\]

    2. Démontrer que le point $M_0$ de coordonnées $(2~;~2~;~0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel la distance $AM$ est minimale.
      On admettra que la distance $AM$ est minimale lorsque son carré $AM^2$ est minimal.
  3. Démontrer que les droites $(AM_0)$ et $d$ sont orthogonales.
  4. On appelle $A'$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan d'équation cartésienne $z = 0$. Le point $A'$ admet donc pour coordonnées $(1~;~3~;~0)$.
    Démontrer que le point $M_0$ est le point du plan $(AA'M_0)$ le plus proche du point O, origine du repère.
  5. Calculer le volume de la pyramide $OM_0A'A$.
    On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.

Correction


Tag:Géométrie dans l'espace

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