Bac 2021 (7 juin): Orthogonalité dans l'espace et minimisation d'une distance et volume d'une pyramide
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Dans un repère orthonormé 
on considère
Le but de cet exercice est de déterminer le point de
le plus proche du point A et d'étudier quelques propriétés de ce point.
On pourra s'appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.
![\[\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-1.9,-2)(4,2.5)
\psline{->}(-1.7,0)(4,0)
\psline{->}(0,0)(-1,-1.5)
\psline{->}(0,-1.8)(0,2.5)
\rput(-1.2,-1.5){$x$}
\rput(3.95,.2){$y$}
\rput(-.15,2.4){$z$}
\psline(-1,.08)(-1,-.08)\psline(1,.08)(1,-.08)\psline(2,.08)(2,-.08)\psline(3,.08)(3,-.08)
\psline(-.08,-1)(.08,-1)\psline(-.08,1)(.08,1)\psline(-.08,2)(.08,2)
\psline(-.41,-.5)(-.25,-.5)
\psline(-.73,-1)(-.58,-1)
% rep\`ere
\psline[arrowsize=7pt,linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[arrowsize=7pt,linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[arrowsize=7pt,linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(-.35,-.5)
\rput(-.5,-.4){$\vec{i}$}
\rput(-.2,.7){$\vec{k}$}
\rput(.8,.25){$\vec{j}$}
%droite d
\psline(-1,1)(2,-2)\rput(.25,-.5){$\vec{u}$}
\psline[arrowsize=8pt]{->}(0,0)(.5,-.5)
%
\psline(0,0)(2.5,1.5)(2.5,-.5)(1.2,-1.2)
\rput(2.65,1.65){A}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2.5,-.5)
\rput(2.65,-.65){A'}
\psline(2.5,1.5)(1.2,-1.2)
\rput(1,-1.3){$M_0$}
%\psline(-4,-.5)(4,-.5)
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex070621/10.png)
Correction
on considère
- le point A de coordonnées (1 ; 3 ; 2),
- le vecteur
de coordonnées 
- la droite
passant par l'origine O du repère et admettant pour vecteur directeur 
.
Le but de cet exercice est de déterminer le point de
le plus proche du point A et d'étudier quelques propriétés de ce point.
On pourra s'appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite
.
- Soit
un nombre réel quelconque, et 
un point de la droite 
, le point 
ayant pour coordonnées 
.
- On note AM la distance entre les points A et M.
Démontrer que:
![\[AM^2 = 2t^2 - 8t+ 14.\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex070621/19.png)
- Démontrer que le point
de coordonnées 
est le point de la droite 
pour lequel la distance 
est minimale.
On admettra que la distance
est minimale
lorsque son carré 
est minimal.
- On note AM la distance entre les points A et M.
Démontrer que:
- Démontrer que les droites
et 
sont orthogonales.
- On appelle
le projeté orthogonal du point 
sur le plan
d'équation cartésienne 
.
Le point 
admet donc pour coordonnées 
.
Démontrer que le point
est le point du plan 
le plus proche du point O, origine du repère.
- Calculer le volume de la pyramide
.
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par:
, où 
est l'aire
d'une base et 
est la hauteur de la pyramide correspondant
à cette base.
Correction
Tag:Géométrie dans l'espace
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