Bac 2021 (Amérique du nord): Géométrie dans un cube

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].

$\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(6,7) \pspolygon(0.5,0.4)(5.5,0)(5.5,5)(0.5,5.4)%ABFE \uput[dl](0.5,0.4){A} \uput[dr](5.5,0){B} \uput[u](5.5,5){F} \uput[ul](0.5,5.4){E} \psline(5.5,0)(8.5,1.4)(8.5,6.4)(5.5,5)%BCGF \uput[r](8.5,1.4){C} \uput[ur](8.5,6.4){G} \psline(8.5,6.4)(3.5,6.8)(0.5,5.4)%GHE \uput[u](3.5,6.8){H} \uput[u](3,5.2){I}\uput[dr](7,0.7){J}\uput[l](0.5,2.9){K} \psline[linewidth=1.6pt](0.5,0.4)(3,5.2)%AI \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](3,5.2)(7,0.7)%IJ \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](0.5,2.9)(3.5,6.8)%KH \psline[linestyle=dashed](0.5,0.4)(3.5,1.8)(3.5,6.8)%ADH \uput[ur](3.5,1.8){D} \psline[linestyle=dashed](3.5,1.8)(8.5,1.4)%DC \end{pspicture}$

Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse,

Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $\left( A~;~\overrightarrow{AB},~ \overrightarrow{AD},~ \overrightarrow{AE}\rp$ .
1. Donner les coordonnées des points I et J.
2. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{IJ},~\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont coplanaires.
On considère le plan d'équation ainsi que les droites et définies par les représentations paramétriques ci-dessous:

$d_1 : \left\{\begin{array}{l c l} x &=&3 + t\\ y &=& 8 - 2t\\ z &=& - 2 + 3t\\ \end{array}\right. , t \in \R\quad \text{et}\quad d_2 : \left\{\begin{array}{l c l} x &=&4 + t\\ y &=&1 + t\\ z &=&8 + 2t\\ \end{array}\right. , t \in \R.$
Les droites et sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
Montrer que la droite est parallèle au plan $\mathcal P$ .
Montrer que le point L(4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point M(5 ; 3 ; 1) sur le plan $\mathcal P$ .

Correction

Tag:Géométrie dans l'espace

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