Bac 2019: Suite récurrente (13 septembre 2019)

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 4] par $f(x) = \dfrac{2 + 3x}{4 + x}$.


Partie A   On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
\[u_0 = 3 \; \text{et pour tout entier naturel }\; n,\; u_{n+1} = f\left(u_n\right).\]

On admet que cette suite est bien définie.


  1. Calculer $u_1$.
  2. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0 ; 4].
  3. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$.
    1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    2. On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ; montrer l'égalité: $\ell = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}$. .
    3. Déterminer la valeur de la limite $\ell$.


Partie B   On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par : $v_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = f\left(v_n\right)$.


  1. On donne en Annexe, à rendre avec la copie, la courbe représentative, $\mathcal{C}_f$, de la fonction $f$ et la droite $D$ d'équation $y = x$.
    Placer sur l'axe des abscisses par construction géométrique les termes $v_1$, $v_2$ et $v_3$ sur l'annexe, à rendre avec la copie.
    Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite $\left(v_n\right)$ quand $n$ tend vers l'infini ?
    1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $1 - v_{n+1} = \left(\dfrac{2}{4 + v_n} \right) \left(1 - v_n\right)$.
    2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
  3. La suite $\left(v_n\right)$ converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.

Annexe


\[\psset{unit=11cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.15,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.15,1.1) \psline(1.1,1.1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.15}{3 x mul 2 add x 4 add div} \uput[d](0.8,0.8){$D$}\uput[u](0.8,0.92){\blue $\mathcal{C}_f$} \end{pspicture}\]


Correction


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