Bac 2019: Suite récurrente (13 septembre 2019)

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 4] par $f(x) = \dfrac{2 + 3x}{4 + x}$.


Partie A   On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
\[u_0 = 3 \; \text{et pour tout entier naturel }\; n,\; u_{n+1} = f\left(u_n\right).\]

On admet que cette suite est bien définie.


  1. Calculer $u_1$.
  2. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0 ; 4].
  3. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$.
    1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    2. On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ; montrer l'égalité: $\ell = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}$. .
    3. Déterminer la valeur de la limite $\ell$.


Partie B   On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par : $v_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = f\left(v_n\right)$.


  1. On donne en Annexe, à rendre avec la copie, la courbe représentative, $\mathcal{C}_f$, de la fonction $f$ et la droite $D$ d'équation $y = x$.
    Placer sur l'axe des abscisses par construction géométrique les termes $v_1$, $v_2$ et $v_3$ sur l'annexe, à rendre avec la copie.
    Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite $\left(v_n\right)$ quand $n$ tend vers l'infini ?
    1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $1 - v_{n+1} = \left(\dfrac{2}{4 + v_n} \right) \left(1 - v_n\right)$.
    2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
  3. La suite $\left(v_n\right)$ converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.

Annexe


\[\psset{unit=11cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.15,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.15,1.1) \psline(1.1,1.1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.15}{3 x mul 2 add x 4 add div} \uput[d](0.8,0.8){$D$}\uput[u](0.8,0.92){\blue $\mathcal{C}_f$} \end{pspicture}\]


Correction

Partie A
  1. $u_1 = f\left(u_0\right) = \dfrac{2 + 9}{4 + 3} = \dfrac{11}{7}$.
  2. La fonction $f$ est définie et dérivable sur [0 ; 4] et sur cet intervalle :
    $f'(x) = \dfrac{3(4 + x) - 1(2 + 3x)}{(4 + x)^2} = \dfrac{12 + 3x - 2 - 3x}{(4 + x)^2} = \dfrac{10}{(4 + x)^2}$
    Quotient de nombres positifs ce nombre dérivé est positif quel que soit $x$ dans l'intervalle [0 ; 4]. La fonction $f$ est donc croissante sur [0 ; 4].
  3. Démonstration par récurrence :
    Initialisation
    On a d'après la première question : $1 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \leqslant 3$ : l'encadrement est vrai au rang $0$ ;
    Hérédité
    Supposons que pour $n \in \N$,  $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$ ; par croissance de la fonction $f$ sur [0 ; 4], on
    $f(1) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f\left(u_{n}\right) \leqslant f(3)$ ou car $f(1) = \dfrac{5}{5} = 1$ et $f(3) = \dfrac{11}{7} \leqslant 3$,
    $1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$ : la relation est donc vraie au rang $n + 1$.
    Conclusion : l'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai à un rang quelconque $n$ il est vrai au rang suivant $n+1$ : d'après le principe de récurrence pour tout naturel $n$,  $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$.
    1. D'après la question précédente la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, minorée par $1$ : elle converge donc vers une limite $\ell \geqslant 1$.
    2. De l'égalité $u_{n+1} = f\left(u_n \right) = \dfrac{2 + 3u_n}{4 + u_n}$ on en déduit par continuité de la fonction $f$ (puisque $f$ est dérivable) :
      \[\ell = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}.\]


    3. On en déduit que $\ell(4 + \ell) = 2 + 3\ell \iff \ell^2 + \ell - 2 = 0$.
      Or $\Delta = 1 + 4 \times 2 = 9 = 3^2$. Il y a deux solutions :
      $\ell_1 = \dfrac{- 1 - 3}{2} = -2$ et $\ell_2 = \dfrac{- 1 + 3}{2} = 1$.
      Comme $\ell \in [1~;~3]$, la seule solution est $\ell_2 = 1$.




Partie B
  1. Voir l'annexe.
    On peut conjecturer que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et qu'elle a pour limite 1.
    1. $1 - v_{n+1} = 1 - \dfrac{2 + 3v_n}{4 + v_n} = \dfrac{4 + v_n - 2 - 3v_n}{4 + v_n}= \dfrac{2 - 2v_n}{4 + v_n} = \dfrac{2}{4 + v_n}\left(1 - v_n\right)$.
    2. Initialisation pour $n = 0$,  $1 - v_0 = 0,9$ ; or $\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 1$. On a bien $0 \leqslant 1 - v_0 \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^0$.
      Hérédité Supposons qu'au rang $n \in \N$ quelconque, on ait $1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
      On a $1 - v_{n+1} = \dfrac{2}{4 + v_n}\left(1 - v_n \right)$, donc d'après l'hypothèse de récurrence :
      $1 - v_{n+1} \leqslant \dfrac{2}{4 + v_n} \times \left(\dfrac{1}{2} \right)^n$.
      Or $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \iff v_n \geqslant 1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \geqslant 0$ ; il suit que $4 + v_n \geqslant 4$, donc en prenant les inverses $0 \leqslant \dfrac{1}{4 + v_n} \leqslant \dfrac{1}{4}$.
      On a donc $0 \leqslant 1 - v_{n+1} \leqslant 2 \times \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2} \right)^n$, soit finalement :
      $0 \leqslant 1 - v_{n+1} \leqslant \left(\dfrac{1}{2} \right)^{n+1}$ : l'encadrement est vrai au rang $n + 1$.
      L'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai à un rang $n$quelconque il est vrai au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence :
      quel que soit le naturel $n$,  $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
  3. Comme $0< \dfrac{1}{2} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$, donc l'encadrement trouvé à la question précédente montre que la la limite de $1 - v_n = 0$, donc :

    \[\dsp\lim_{n \to + \infty} v_n = 1.\]


Annexe

\[\psset{unit=11cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.15,1.1) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.15,1.1) \psline(1.1,1.1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.15}{3 x mul 2 add x 4 add div} \uput[ul](1.1,1.1){$D$}\uput[d](1.1,1.03){\blue $\mathcal{C}_f$} \psline[ArrowInside=->](0.1,0)(0.1,0.561)(0.561,0.561)(0.561,0.8074)(0.8074,0.8074)(0.8074,0.92)(0.92,0.92) \psline(0.561,0)(0.561,0.561) \psline(0.8074,0.8074)(0.8074,0) \psline(0.92,0)(0.92,0.92) \uput[d](0.1,-0.05){$v_0 =0,1$}\uput[d](0.561,-0.05){$v_1=0,561$}\uput[d](0.8074,-0.05){$v_2=0,807$}\uput[d](0.92,-0.05){$v_3=0,92$} \end{pspicture}\]



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