Bac 2010 (Centres étrangers) - fonction et suite récurrente

Centres étrangers, juin 2010
Soit la fonction définie sur l'intervalle par .
Le but de cet exercice est d'étudier des suites définies par un premier terme positif ou nul et vérifiant pour tout entier naturel , .

1. Etude de propriétés de la fonction
   
   1. Etudier le sens de variation de la fonction sur .
   2. Résoudre dans l'intervalle l'équation . On note la solution.
   3. Montrer que si appartient à l'intervalle , alors appartient à l'intervalle .
   
   
2. Etude de la suite pour
   Dans cette question, on considère la suite définie par et pour tout entier naturel , .
   
   1. Représenter graphiquement la courbe représentative de la fonction , et placer le points de coordonnées et construire les points , , et d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives , , et .
      Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite ?
   2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel : .
      Quel est alors le sens de variation de la suite ?

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