Bac 2015 (Nouvelle Calédonie) - Étude de fonctions avec un paramètre et une exponentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp.
Soit $a un nombre réel strictement positif.
On note $\Delta_a la droite d'équation $y = ax et $\Gamma la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal $\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp.
Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d'intersection de $\Gamma et $\Delta_a suivant les valeurs de $a.
Pour cela. on considère la fonction $f_a définie pour tout nombre réel $x par

f_a(x) = \text{e}^x - ax.


On admet pour tout réel $a que la fonction $f_a est dérivable sur l'ensemble $\R des nombres réels.


  1. Étude du cas particulier $a = 2 La fonction $f_2 est donc définie pour tout $x réel par $f_2(x) =e^x - 2x.
    1. Étudier les variations de la fonction $f_2 sur $\R et dresser son tableau de variations sur $\R (on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
    2. En déduire que $\Gamma et $\Delta_2 n'ont pas de point d'intersection.
  2. Étude du cas général où $a est un réel strictement positif
    1. Déterminer les limites de la fonction $f_a en $+\infty et en $-\infty.
    2. Étudier les variations de la fonction $f_a sur $\R. Montrer alors que le minimum sur $\R de la fonction $f_a est $a - a \ln a.
    3. Étudier le signe de $a - a \ln a suivant les valeurs du nombre réel strictement positif $a.
    4. Déterminer selon les valeurs du réel $a le nombre de points communs à $\Gamma et $\Delta_a.

Correction


Tag:Exponentielle

Autres sujets au hasard: Lancer de dés

Voir aussi:

Quelques devoirs


LongPage: h2: 1 - h3: 0