Bac 2015 (Nouvelle Calédonie) - Étude de fonctions avec un paramètre et une exponentielle

Le plan est rapporté à un repère orthogonal .
Soit un nombre réel strictement positif.
On note la droite d'équation et la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal .
Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d'intersection de et suivant les valeurs de .
Pour cela. on considère la fonction définie pour tout nombre réel par



On admet pour tout réel que la fonction est dérivable sur l'ensemble des nombres réels.

1. Étude du cas particulier La fonction est donc définie pour tout réel par .
   1. Étudier les variations de la fonction sur et dresser son tableau de variations sur (on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
   2. En déduire que et n'ont pas de point d'intersection.
2. Étude du cas général où est un réel strictement positif
   1. Déterminer les limites de la fonction en et en .
   2. Étudier les variations de la fonction sur . Montrer alors que le minimum sur de la fonction est .
   3. Étudier le signe de suivant les valeurs du nombre réel strictement positif .
   4. Déterminer selon les valeurs du réel le nombre de points communs à et .

Correction

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