Bac 2015 (Nouvelle Calédonie) - Droites perpendiculaires dans l'espace

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

L'espace est rapporté au repère orthonormé $$\left( O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp$ . On désigne par $$\R$ l'ensemble des nombres réels.
On rappelle que deux droites de l'espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.

Soient le point

de coordonnées

et le vecteur $$\overrightarrow{u_1}$ de coordonnées $$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ .
On appelle

la droite passant par

et de vecteur directeur $$\overrightarrow{u_1}$ .
On appelle

la droite qui admet pour représentation paramétrique $$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&1 + k\\y&=& - 2k\\ z&=&2\phantom{+ k} \end{array}\right.\:(k \in \R).$
Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'une droite perpendiculaire à la fois à

1. Donner une représentation paramétrique de .
2. Donner un vecteur directeur de (on le notera : $$\overrightarrow{u_2}$ ).
3. Le point appartient-il à ?
Démontrer que les droites et sont non coplanaires.
Soit le vecteur $$\vec{v}\begin{pmatrix}- 6\\- 3\\4\end{pmatrix}$ . On définit la droite $$\Delta_1$ passant par et de vecteur directeur $$\vec{v}$ et la droite $$\Delta_2$ passant par et parallèle à $$\Delta_1$ . Justifier que les droites et $$\Delta_1$ sont perpendiculaires.

Dans la suite, on admettra que les droites et $$\Delta_2$ sont perpendiculaires.
Soit le plan défini par les droites et et le plan défini par les droites et .
1. Soit le vecteur $$\vec{n}\begin{pmatrix}17\\- 22\\9\end{pmatrix}$ . Vérifier que $$\vec{n}$ est un vecteur normal au plan .
2. Montrer que et ne sont pas parallèles.
Soit $$\Delta$ la droite d'intersection des plans et . On admettra que le vecteur $$\vec{v}$ est un vecteur directeur de $$\Delta$ . Utiliser les questions précédentes pour prouver qu'il existe une droite de l'espace perpendiculaire à la fois à et à .

Correction

1. Une représentation paramétrique de s'obtient en traduisant l'égalité $$\overrightarrow{A_1M} = t\overrightarrow{u_1}$ avec $$t \in \R$ soit:
  $$\left\{\begin{array}{l c l} x - 0 &=& t \\ y - 2 &=& 2t\\ z - (- 1)&=&3t \end{array}\right. \quad t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=& t \\ y &=&2 + 2t\\ z &=&- 1 + 3t \end{array}\right. \quad t \in \R$ .
2. Dans la représentation paramétrique, on reconnait qu'un vecteur directeur de est $$\overrightarrow{u_2}\lp\begin{array}{c}1\\-2\\0\enar\rp$ .
3. $$A_2 \in D_2 \iff \left\{\begin{array}{l c l} - 1 &=&1 + k \\ 4 &=&0 - 2k\\ 2 &=&2 + 0k \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} - 2 &=&k \\ - 2 &=&k\\ 2 &=&2 \end{array}\right.$ qui a une solution .
  Le point appartient à .
Les vecteurs directeurs de et de ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles. Elles sont sécantes s'il existe des réels et tels que: $$\left\{\begin{array}{lcl} t &=&1 + k \\ 2 + 2t &=&0 - 2k\\ - 1 + 3t &=&2 + 0k \enar\right. \iff\left\{\begin{array}{lcl} t &=&1 + k \\ 2 + 2 + 2k &=&0 - 2k\\ - 1 + 3 +3k &=&2 + 0k \enar\right. \iff \left\{\begin{array}{lcl} t &=&1 + k \\ 4k &=&- 4\\ 3k &=&0 \enar\right. \iff \left\{\begin{array}{lcl} t &=&1 + k \\ k &=&- 1\\ k &=&0 \enar\right.$ Ce système n'a pas de solution donc il n'existe pas de point commun aux deux droites, elles ne sont donc pas coplanaires.
Les droites et $$\Delta_1$ contiennent le point . Pour montrer qu'elles sont perpendiculaires il suffit de montrer que deux de leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux : $$\overrightarrow{u_1} \cdot \vec{v} = - 6 - 6 + 12 = 0$ . Ainsi, les droites et $$\Delta_1$ sont perpendiculaires.
Les droites et sont aussi perpendiculaires
1. $$\vec{n}$ est un vecteur normal au plan s'il est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires et non nuls de ce plan $$\vec{u_1}$ et $$\vec{v}$ ; or $$\vec{n} \cdot \vec{u_1} = - 6 - 6 + 12 = 0$
  $$\vec{n} \cdot \vec{v} = 17\times(-6)-22\times(-3)+4\times 9 = - 102 + 66 + 36 = 0$
  Le vecteur $$\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan . Il est par conséquent normal à ce plan.
2. Si et sont parallèles, $$\vec{n}$ vecteur normal au plan est aussi un vecteur normal au plan ; il est donc orthogonal à tout vecteur non nul du plan comme et $$\vec{v}$ . On a bien $$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ , mais $$\vec{n} \cdot \vec{u_2} = 17 + 44 + 0 = 61 \ne 0$ .
  Donc $$\vec{n}$ n'est pas normal au plan et les deux plans et ne sont pas parallèles.
$$\Delta$ est parallèle à $$\Delta_1$ et $$\Delta_2$ lesquelles sont respectivement perpendiculaire à et .
Par conséquent la droite $$\Delta$ est orthogonale aux droites et .
Or cette droite appartient au plan et au plan . Elle est donc perpendiculaire aux droites et . Il existe donc une droite de l'espace perpendiculaire à la droite et à : c'est la droite $$\Delta$ .

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Tag:Géométrie dans l'espace

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