Bac 2013 (Asie) - Un exercice bien complet sur les suites, et avec un algorithme

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Partie A

On considère la suite $$\left( u_n\rp$ définie par:

et, pour tout entier naturel

$u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_n}{3 + u_n}.$

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , on a : $$u_{n} > 1$ .
1. Établir que, pour tout entier naturel , on a: $$u_{n+1}- u_{n}=\dfrac{\lp1 - u_n\rp\lp1 + u_n\rp}{3+u_n}$ .
2. Déterminer le sens de variation de la suite $$\left( u_n\rp$ .
  En déduire que la suite $$\left( u_n\rp$ converge.

Partie B

On considère la suite $$\left( u_n\rp$ définie par:

et, pour tout entier naturel

$u_{n+1}=\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}.$

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

On considère l'algorithme suivant :

$\begin{tabular}{|c |l|}\hline Entr\'ee& Soit un entier naturel non nul $n$\\ \hline Initialisation &Affecter \`a $u$ la valeur 2\\ \hline Traitement et sortie&POUR $i$ allant de 1 \`a $n$\\ &\hspace{1cm}Affecter \`a $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$\\ &\hspace{1cm}Afficher $u$\\ \hline &FIN POUR\\ \hline \end{tabular}$

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour . Les valeurs de seront arrondies au millième.

$\begin{tabular}{|*4{p{1.5cm}|}}\hline \rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm} $i$&1&2& 3\\ \hline \rule[1.4cm]{0.3cm}{-0.8cm} $u$&&&\\ \hline \end{tabular}$
Pour , on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :

$\begin{tabular}{|c|*{9}{p{1.3cm}|}}\hline \rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm} $i$&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline \rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm} $u$&\footnotesize{1,0083}&\footnotesize{0,9973}&\footnotesize{1,0009}&\footnotesize{0,9997}&\footnotesize{1,0001}&\footnotesize{0,99997}&\footnotesize{1,00001}&\footnotesize{0,999996}&\footnotesize{1,000001}\\ \hline \end{tabular}$

Conjecturer le comportement de la suite $$\left(u_{n}\right)$ à l'infini.
On considère la suite définie, pour tout entier naturel , par : .
1. Démontrer que la suite $$\left( v_n\rp$ est géométrique de raison $$-\dfrac13$ .
2. Calculer puis écrire en fonction de .
1. Montrer que, pour tout entier naturel , on a: $$v_n\neq 1$ .
2. montrer que, pour tout entier naturel , on a: $$u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}$ .
3. Déterminer la limite de la suite $$\left( u_n\rp$ .

Correction
Partie A

Initialisation : la relation est vraie au rang ;
Hérédité : supposons qu'il existe un naturel tel que .
$$\dfrac{1+3u_p}{3+u_p}=\dfrac{3+u_p-2+2u_p}{3+u_p} =\dfrac{\lp3+u_p\right) + \lp 2u_p-2\right)}{3+u_p} =1+2\dfrac{u_p-1}{3+u_p}$ .
Par hypothèse de récurrence on a:
$$u_{p} - 1$ et comme $$u_{p} > 1,\, 3 + u_{p} > 4 > 0$ donc son inverse $$\dfrac{1}{3 + u_{p}} > 0$ et finalement $$\dfrac{u_{p} - 1}{3 + u_{p}} > 0$ , c'est-à-dire que $$u_{p+1} = \dfrac{1 + 3u_{p}}{3 + u_{p}} > 1$
Conclusion: on a démontré, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel , .
1. Pour tout entier naturel , $$u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}} - u_{n} = \dfrac{1 + 3u_{n} - 3u_{n}- u_{n}^2}{3 + u_{n}} = \dfrac{1 - u_{n}^2}{3 + u_{n}} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$ .
2. On sait que pour tout entier , $$u_n>1 \Rightarrow u_n^2 > 1^2 \Rightarrow 1 - u_{n}^2 < 0$ et comme $$3 + u_{n} > 0$ , on a finalement $$u_{n+1}-u_n<0$ , ce qui signifie que la suite $$\left( u_n\rp$ est décroissante.
  La suite $$\left( u_n\rp$ est décroissante et minorée par : elle converge donc vers une limite supérieure ou égale à .

Partie B

$\begin{tabular}{|*{4}{p{1.5cm}|}}\hline \rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm} $i$&1&2& 3\\ \hline \rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm} $u$&0,800&1,077&0,976\\ \hline \end{tabular}$
La suite semble converger vers .
1. $$v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} + 1} = \dfrac{\frac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}} - 1}{\frac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}} + 1} = \dfrac{0,5 - 0,5u_{n}}{1,5 + 1,5u_{n}} = \dfrac{- 0,5\left(u_{n} - 1\right)}{1,5\left(u_{n} + 1 \right)} = -\dfrac{1}{3}v_{n}$ .
  La suite $$\left( v_n\rp$ est donc géométrique de raison $$-\dfrac13$ .
2. On a $$v_0=\dfrac{2-1}{2+3}=\dfrac13$ .
  On sait qu'alors pour tout naturel , $$v_n=\dfrac13\tm\lp-\dfrac13\rp^n$ .
1. Quel que soit le naturel , $$\lp-\dfrac13\rp^n \leqslant1$ , donc $$v_n\leqslant\dfrac13$ et par conséquent $$v_n\neq 1$ .
2. $$v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+1} \iff v_n\left(u_{n} + 1 \right) = u_{n} - 1 \iff v_{n}u_{n} + v_{n} = u_{n} - 1 \iff v_{n}u_{n} - u_{n}+ = - 1 - v_{n} \iff u_{n}\left(v_{n} - 1\right) = - 1 - v_{n}$ et comme $$v_n \neq 1$ ,
  $$u_n=\dfrac{- 1 - v_{n}}{v_{n} - 1} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$ .
3. Comme $$- 1 < - \dfrac{1}{3} < 1$ , on sait que $$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left(- \dfrac{1}{3} \right)^n = 0$ , soit $$\displaystyle \lim_{n\to+\infty} v_n=0$ , donc d'après le résultat précédent $$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_{n} = \dfrac{1}{1} = 1$ .

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