Bac 2010 (Centres étrangers) - fonction et suite récurrente

Centres étrangers, juin 2010
Soit la fonction définie sur l'intervalle par .
Le but de cet exercice est d'étudier des suites définies par un premier terme positif ou nul et vérifiant pour tout entier naturel , .

1. Etude de propriétés de la fonction
   
   1. Etudier le sens de variation de la fonction sur .
   2. Résoudre dans l'intervalle l'équation . On note la solution.
   3. Montrer que si appartient à l'intervalle , alors appartient à l'intervalle .
   
   
2. Etude de la suite pour
   Dans cette question, on considère la suite définie par et pour tout entier naturel , .
   
   1. Représenter graphiquement la courbe représentative de la fonction , et placer le points de coordonnées et construire les points , , et d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives , , et .
      Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite ?
   2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel : .
      Quel est alors le sens de variation de la suite ?

Correction
Centres étrangers, juin 2010.    est la fonction définie sur par .

1. Etude de propriétés de la fonction
   
    
   1. Pour tout , .
   2. , en multipliant par (car ) et donc, .
      Cette équation du second degré a pour discriminant , et admet donc deux solutions réelles distinctes: et .
      Comme , l'équation admet donc sur une seule solution .
      
   3. Comme est strictement croissante sur , on a .
      Or, et . Ainsi, .
      Ainsi, si , alors .
   
   
2. Etude de la suite pour
   Dans cette question, on considère la suite définie par et pour tout entier naturel , .
   
   1. 
      
      
      
      
      
      On peut conjecturer que la suite est croissante, et qu'elle converge vers .
      
   2. Initialisation: Pour , on a , et , et ainsi on a donc bien .
      Hérédité: Supposons que pour un entier on ait .
      Alors, comme la fonction est croissante sur , .
      Or, , , , et .
      On a donc ainsi, , ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang .
      Conclusion: On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel , .
      
       
      On déduit en particulier de la propriété précédente que la suite est croissante (et bornée par et ).

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