Nombres complexes


Trois exercices complets pour finir


Exercice 22
Soit P le polynôme défini par:
P(z) = z3 − (2 + i) z2 + 2(1 + i) z − 2i
  1. Calculer P(i).
  2. Trouver deux nombres réels p et q tels que P(z) = (z − i) (z2 + pz + q)
  3. Déterminer alors toutes les solutions de l'équation P(z) = 0
  4. Montrer que ces solutions sont les affixes des sommets d'un triangle rectangle.


Exercice 23
Soit le polynôme P défini sur C par:
P(z) = 3z3 + (1 + 6i) z2 + 2(8 + i) z + 32i
  1. Vérifier que z0 = −2i est une racine de P.
  2. Trouver les nombres réels a, b et c tels que, pour tout complexe z, P(z) = (z − z0) (az2 + bz + c)
  3. Déterminer alors toutes les racines de P.


Exercice 24
Soit les nombres complexes z1 = −1 −i3 et z2 = iz1
  1. Écrire z1 et z2 sous forme trigonométrique.
    1. Placer dans le plan complexe les points M1 et M2 d'affixes z1 et z2.
    2. Soit A, B et C les points du plan d'affixes respectives zA = −2 + 2i3, zB = 2 − 2i3 et zC = 8 .
      Montrer que zA = 2z1.
    1. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
    2. Calculer zA − zB, zB − zC, et zA − zC.
    3. En déduire que le triangle ABC est rectangle.


Voir aussi:
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