Nombres complexes


Conjugué d'un nombre complexe


Définition
Soit z = x + iy, où x∈R et y∈R un nombre complexe. On appelle conjugué de z le nombre complexe z = x − iy .


Propriété
Dans le plan complexe, si le point M a pour affixe z, alors l'image M' de z est le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses.


Exemples:
  • Pour z = 3 + 2i, on a z = 3 − 2i
  • Pour z = 3 − 1/2i, on a z = 3 + 1/2i
  • −5 = −5
  • 3i = −3i


Propriétés
  1. z = z
  2. z z = x2 + y2
  3. zz' = z z'
  4. zn = z n
  5. z + z' = z + z'
  6. si z≠0, 1/z = 1/z
  7. si z'≠0, z/z' = z/z'
  8. z + z = 2Re(z)
    On a donc,
    z ima­ginaire pur ⇔ Re(z) = 0 ⇔ z + z = 0 ⇔ z = −z
  9. z − z = 2i Im(z)
    On a donc,
    z ∈R ⇔ Im(z) = 0 ⇔ z − z = 0 ⇔ z = z



Exercice 7
Soit les nombres complexes: z1 = 3 − i/5 + 7i et z2 = 3 + i/5 − 7i
Vérifier que z1 = z2, et en déduire que z1 + z2 est réel et que z1 − z2 est imaginaire pur.

Calculer z1 + z2 et z1 − z2.



Exercice 8
Soit P le polynôme défini sur C par: P(z) = z3 + z2 − 4z + 6
  1. Montrer que pour tout nombre complexe z,  P(z) = P( z )
  2. Calculer (1+i)2 et (1+i)3 et vérifier que 1+i est une racine de P, et en déduire une autre racine complexe de P.



Exercice 9
Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z du plan complexe tels que Z = z2 + z soit un nombre réel

(indication: on pourra passer par la forme alégbrique de Z en posant z = x + iy).



Exercice 10
Résoudre dans C les équations (écrire la solution sous forme algébrique):
  1. 5z = 4 − i
  2. (1+i)z + 1 − i = 0
  3. 2z + i = z + 2
  4. 3z − 2iz = 5 − 3i



Voir aussi:
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