Nombres complexes
Inverse et quotient de nombres complexes
Propriété - Inverse d'un nombre complexe
Tout nombre complexe non nul z admet un inverse, noté
1z
Démonstration
Cette démonstration est à connaître: elle contient la méthode pour calculer la forme algébrique de l'inverse d'un nombre complexe.
Soit z = x + iy un nombre complexe non nul, c'est-à-dire que x≠0 ou y≠0.
Alors, en multipliant numérateur et dénominateur par le complexe conjugué:
1z
= 1 × z ×
or et
= x − iyz ×
= x2 + y2On trouve ainsi que
1z
= x − iyx2 + y2
et donc, sous forme algébrique, en séparant les parties réelle et imaginairs
1z
= xx2 + y2
− iyx2 + y2
Exemples
- L'inverse de z = 2 + 3i est
1z = 12 + 3i = 2 − 3i(2 + 3i)(2 − 3i) = 2 − 3i22 + 32 = 2 − 3i13 = 213 −i313
- L'inverse de z = 1 − i est
1z = 11 − i = 1 + i(1 − i)(1 + i) = 1 + i12 + 12 = 1 + i2 = 12 + 12i
Pour écrire le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique on utilise la même méthode: on multiplie numérateur et dénominateur par le nombre conjuqué du dénominateur:
Corollaire: Quotient de deux nombres complexes
Le quotient des deux nombres complexes z1 et z2≠0 est le nombre complexe
z1z2
= z1 × 1z2
soit aussi, en mutltipliant par le conjugué du dénominateur,
z1z2
= z1 × z2 ×
Exercice 11
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes:
- 13 + 2i
13 + 2i = 3 −2i(3 + 2i)(3 − 2i) = 3 −2i32 + 22 = 3 −2i13 = 313 − 213i - 1 + i3 − 2i
1 + i3 − 2i = (1+ i)(3 + 2i)(3 − 2i)(3 + 2i) = 3 + 2i + 3i + 2i232 + 22 = 1 + 5i13 = 113 + 513i - 1 + 4i1 − 2i
1 + 4i1 − 2i = (1+ 4i)(1 + 2i)(1 − 2i)(1 + 2i) = 1 + 2i + 4i + 8i212 + 22 = −7 + 6i5 = −75 + 65i - 2i2i − 1
Attention, le complexe conjuqué de 2i − 1 = −1 + 2i est −1 − 2i, et donc2i2i − 1 = 2i(−1 − 2i)(−1 + 2i)(−1 − 2i) = −2i − 4i212 + 22 = −2i + 45 = 45 − 25i - 2 + i1 − i + (−1 + 3i)2
Pour la fraction, on a2 + i1 − i = (2+ i)(1 + i)(1 − i)(1 + i) = 1 + 3i2 = 12 + 32iet on développe le deuxième terme, une identité remarquable,(−1 + 3i)2 = (−1)2 + 2(−1)(3i) + (3i)2 = −8 − 6i
On ajoute finalement ces deux résultats:2 + i1 − i + (−1 + 3i)2 = −152 − 92i - i3
i3 = i2 × i = −1 × i = −i - 1i
1i = 1 × ii × i = i−1 = −i - i4
- i5
D'après ce qui précède, et les règles de calcul sur les puissances,i5 = i4 × i = i - i6
D'après les règles de calcul sur les puissancesi6 = (i2)3 = (−1)3 = −1 - 3i10
Exercice 12
Soit z1 = −1 + 3i et z2 = 4 − i. Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes:
- z12 − 2z2
On développe déjà la première identité remarquablez12 = (−1 + 3i)2 = −8 − 6ipuisz12 − 2z2 = −8 − 6i −2(4 − i) = −16 − 4i - z1z22
On az22 = (4 −i)2 = 15 − 8ipuisz1z22 = (−1 + 3i)(15 − 8i) = 9 + 53i
- z1z2
En multipliant numérateur et dénomateur par le conjgué du dénominateur on obtientz1z2 = −1 + 3i4 − i = (−1 + 3i)(4 + i)(4 − i)(4 + i) = −4 −i + 12i + 3i242 + 12 = −7 + 11i17 = −717 + 1117i - 1z1
+ 1z2
On commence par écrire la première inverse sous forme algébrique,1z1 = 1−1 + 3i = −1 − 3i(−1 + 3i)(−1 − 3i) = −1 −3i(−1)2 + 32 = −1 −3i10 = −110 − 310ipuis de même avec la deuxième1z2 = 14 − i = 4 + i(4 − i)(4 + i) = 4 + i42 + 12 = 417 + 117iEnfin on ajoute ces deux résultats1z1 + 1z2 = −110 − 310i + 417 + 117i = 23170 − 41170i