Produit scalaire - Géométrie vectorielle


Produit scalaire dans le plan

Cours: définitions et propriétés

Définition
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls, alors $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\tm\|\vec{v}\|\tm\cos\lp \vec{u},\vec{v}\rp$



Comme $\cos(0)=1$ ,   $\cos(\pi)=-1$   et   $\cos\lp\dfrac\pi2\rp=0$, on a donc directement:

  • Le carré scalaire de $\vec{u}$ est
    \[\vec{u}\cdot\vec{u}=\vec{u}^2=\|\vec{u}\|^2\]

  • Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de même sens:
    \[\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\tm\|\vec{v}\|\]

  • Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de sens contraires:
    \[\vec{u}\cdot\vec{v}=-\|\vec{u}\|\tm\|\vec{v}\|\]

  • Pour $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls:
    \[\vec{u}\cdot\vec{v}=0 \iff \vec{u}\perp\vec{v}\]


    Remarque: Ce n'est pas un produit qui est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul, c'est un produit scalaire nul !



Propriété
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$, et tout réel $k$,
  • $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$
  • $(k\vec{u})\cdot\vec{v}=k\vec{u}\cdot\vec{v}$
  • $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$



Propriété: Produit scalaire et projection
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points, et $C'$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(3.5,1.5)\pspolygon(0,0)(3,0)(2,1)\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,1)\rput(-0.2,-0.2){$A$}\rput(2,-0.25){$C'$}\rput(3.2,-0.2){$B$}\rput(2,1.3){$C$}\end{pspicture}\]

On a alors
\[\V{AB}\cdot\V{AC}= \V{AB}\cdot\V{AC'}\]



Exercices


Exercice 1
$A$, $B$, $C$ et $D$ sont quatre points quelconques du plan.

En utilisant la relation de Chasles, démontrer que $\V{AB}\cdot\V{CD}+\V{AC}\cdot\V{DB}+\V{AD}\cdot\V{BC}=0$.



Exercice 2
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. Montrer que
\[\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac12\Bigg[\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\Bigg]\]




Exercice 3
Soit $ABCD$ un carré, et $I$ et $J$ les points tels que $\V{BI}=\dfrac{1}{5}\V{BC}$ et $\V{CJ}=\dfrac{1}{5}\V{CD}$.
\[\psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-0.8,-0.2)(4,2.5) \pspolygon(0,0)(2.5,0)(2.5,2.5)(0,2.5) \rput(-0.2,2.7){$A$}\rput(2.7,2.7){$B$} \rput(2.7,-0.2){$C$}\rput(-0.2,-0.2){$D$} \psline(0,2.5)(2.5,2)\rput(2.7,2){$I$} \psline(2,0)(2.5,2.5)\rput(1.9,-0.25){$J$} \end{pspicture}\]

Démontrer que les droites $(AI)$ et $(BJ)$ sont perpendiculaires.



Exercice 4
$A$ et $B$ sont deux points du plan tels que $AB=3$ cm.
  1. Déterminer l'ensemble $E_1$ des points $M$ du plan tels que $\V{AM}\cdot\V{AB}=0$.
  2. Donner un point $H$ de $(AB)$ tel que $\V{AH}\cdot\V{AB}=-6$.
    Déterminer l'ensemble $E_2$ des points $M$ du plan tels que $\V{AM}\cdot\V{AB}=-6$.


Formules de géométrie du triangle (quelconque)


On utilise par la suite les notations générales suivantes dans un triangle quelconque $ABC$
\begin{pspicture}(-.8,-1.6)(7,2.2) \pspolygon[linewidth=0.8pt](0,0)(3,1.5)(6,-1)\put(-0.5,0.){$B$}\put(2.9,1.7){$A$}\put(6.2,-1){$C$}\psarc(0,0){0.8}{-9.5}{26.5}\put(1.1,0.1){$\beta$}\psarc(3,1.5){0.6}{207}{320}\put(2.8,0.55){$\alpha$}\psarc(6,-1){1}{140}{171}\put(4.6,-0.5){$\gamma$}\put(2.7,-0.9){$a$}\put(1.3,.95){$c$}\put(4.5,0.5){$b$}\end{pspicture}\]


Théorème: Al-Kashi, ou Pythagore généralisé
Dans un triangle $ABC$ quelconque, on a :
\[a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos\alpha \]

Démonstration: À savoir faire et refaire !



Corollaire: Théorème de Pythagore (!)
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ si et seulement si   $a^2=b^2+c^2$.
Démonstration: À savoir faire et refaire !


Théorème: Aire d'un triangle et formule des sinus
L'aire d'un triangle $ABC$ quelconque, est donnée par
\[\mathcal{A}=\frac{1}{2}ab\sin\gamma =\frac{1}{2}ac\sin\beta =\frac{1}{2}bc\sin\alpha\]


et on a de plus la formule des sinus
\[\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}\]
Démonstration:



Exercice 5
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=8$ cm, $AC=6$ cm et $\widehat{A}=120^\circ$.
Calculer toutes les longueurs et angles de ce triangle.


Voir aussi:
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Formules de géométrie du triangle (quelconque)