Ensemble de définition d'une fonction
Définition et exemples
Définition
L'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des nombres réels possédant une image par f,
c'est-à-dire l'ensemble des nombres réels x pour lesquels f (x) existe.
Cet ensemble de définition est souvent noté Df.
Exemples:
- Soit la fonction f définie par l'expression
f (x) = 3x + 1.
Pour tout nombre réel x, le nombre f (x) existe bien (il n'y a pas de problème lors de la multiplication d'un nombre par 3 ni de l'addition qui s'ensuit). Ainsi, l'ensemble de définition de f est l'ensemble des nombres réels: Df = R - Soit la fonction g définie par l'expression
g(x) = 1x + 2.
Ici la division existe pour presque tous les nombres réels: sauf ceux pour lesquels x + 2 = 0, soit x = −2.
Ainsi, l'ensemble de définition de g est l'ensemble des nombres réels sauf −2, soit Dg = R\{−2} - Soit la fonction h définie sur [−3 ; 25[ par l'expression
h(x) = 3x2 - 2x + 3.
Ici, l'ensemble de défintion de la fonction est explicitement fourni avec sa définition: Dh = [−3 ; 25[. - Un objet coûte 5 euros. On définit la fonction p qui à un nombre x d'objets associe le prix total de ces objets. On a facilement l'expression p(x) = 5x.
L'ensemble de définition de cette fonction est ici Dp = N car on ne considère que des nombres entiers d'objets (même si, algébriquement, l'expression de la fonction p n'empêche pas pour le calcul d'avoir des nombres d'objets décimaux, fractionnaires, négatifs, ...)
L'ensemble de définition d'une fonction peut être soit donné avec la fonction, ou sinon à déterminer, c'est-à-dire à étudier les nombres réels x tels que f (x) ou non.
Opérations et valeurs interdites
Pour déterminer cet ensemble de définition, lorsqu'il n'est pas fourni directement dans l'énoncé avec la fonction, il s'agit alors de prendre garde aux opérations dont le résultat peut ne pas exister; il y en a deux en début de lycée (seconde et première):- La division par 0 n'existe pas.
Ainsi, à chaque fois qu'apparaît une fraction dans une fonction, il faut prendre garde à ce que le dénominateur ne soit jamais nul.
De telles valeurs sont appelées des valeurs interdites.
Pour déterminer ces valeurs interdites, on résout donc une équation (dénominateur égal à 0) - La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
Ainsi, à chaque fois qu'apparaît une racine carrée dans une fonction, il faut prendre garde à ce qu'elle contient (qui s'appelle le radicande) ne soit jamais négatif.
De telles valeurs sont aussi des valeurs interdites.
Pour déterminer ces valeurs interdites, on résout donc cette fois des inéquation (radicande positif, c'est-à-dire supérieur à 0)
Exercices
Exercice:
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes:
a) f (x) = 3x2 + 5x −2
Pas d'opération interdite ici,
Df = R
b) f (x) = x23 − 12x + 32
Pas d'opération interdite ici non plus, on divise par des nombres non nuls 2 et 3, donc
Df = R
c) f (x) = −43x + 6
On divise par 3x + 6 qui ne doit donc pas être nul, soit
3x + 6 ≠ 0 ⇔ x ≠ −2.
Ainsi, Df = R\{−2}
Ainsi, Df = R\{−2}
d) f (x) = 2x + 1x2 − 16
On divise par x2 − 16 qui ne doit donc pas être nul.
Il ne faut donc pas que x2 = 16 soit x = 16 = 4 ou x = −16 = −4.
Ainsi, Df = R\{−4 ; 4}
Il ne faut donc pas que x2 = 16 soit x = 16 = 4 ou x = −16 = −4.
Ainsi, Df = R\{−4 ; 4}
e) f (x) = 2x − 4
Dans cette racine carrée, l'expression 2x − 4 doit être supérieure ou égale à 0.
Il faut donc que 2x − 4≥0 soit x≥2
Ainsi, Df = [2;+∞[
Il faut donc que 2x − 4≥0 soit x≥2
Ainsi, Df = [2;+∞[
f) f (x) = 3x + 18 + 2x
Il y a deux une racine carrée et une fraction:
- dans la racine carrée, l'expression 3x + 18 doit être supérieure ou égale à 0.
Il faut donc que 3x + 18≥0 soit x≥−6 - Le dénominateur de la fraction ne doit pas être nul, donc x≠0.
g) f (x) = −4x2x(3x + 6) + 1x + 7
Il y a deux fractions:
- dans la première, on ne doit pas avoir 2x(3x + 6) = 0, qui est une équation produit nul et qui est équivalente à 2x = 0 ou 3x + 6 = 0, soit x = 0 ou x = −2.
- dans la deuxième, on ne doit pas avoir 3x + 7 = 0 soit x = −7