Vrai ou Faux
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
Vrai ou faux ?
- En dimension finie, un endomorphisme admet un nombre fini de vecteurs propres.
- Si est diagonalisable, alors est diagonalisable.
- Si est diagonalisable, alors est diagonalisable.
- La somme de deux matrices diagonalisables est diagonalisable.
Correction
Correction
- Faux. Un endomorphisme peut n'admettre aucun vecteur propre, mais s'il en admet, il y en a une infinité: si est vecteur propre, alors est aussi un vecteur propre pour tout .
- Vrai. Si est diagonalisable, il existe diagonale telle que avec , et on a alors et, comme est aussi diagonale, est donc diagonalisable (qui plus est dans la même base que ).
- Non, la réciproque précédente est fausse. Il suffit par exemple de considérer une matrice nilpotente, c'est-à-dire telle que , par exemple qui n'est pas diagonalisable alors que et la matrice nulle est diagonale.
On peut aussi considérer la matrice qui est telle que est l'identité qui est aussi diagonale. - Faux. Il suffit de considérer deux matrices diagonalisables (triangulaire, avec des valeurs diagonales, et donc valeurs propres, distinctes par exemple), et dont la somme est nilpotente, par exemple:
Tags:DiagonalisationMatrices
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