Trouver les parametres d'une loi normale


Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)$. On sait de lus que $P(X\leqslant9) = 0, 9772$ et $P(X\geqslant3) = 0,8413$. Calculer $\mu$ et $\sigma$.
On donne les valeurs de la fonction de répartition $\Phi$ de la loi normale centrée réduite: $\Phi(1)=0,8413$, $\Phi(2)=0,9772$, $\Phi(3)=0,9987$.

Correction
On sait donc que $P(X\leqslant9) = 0, 9772$ et $P(X\geqslant3) = 0,8413$.
On se ramène à une loi normale centrée réduite, en posant $Y=\dfrac{X-\mu}\sigma$ et alors,
\[P(X\leqslant9)=P\left( Y\leqslant\dfrac{9-\mu}\sigma\rp=0,9772\]

soit donc
\[\Phi\lp\dfrac{9-\mu}\sigma\rp=0,9772=\Phi(2)\]

Comme $\Phi$ est bijective, on en déduit que
\[\dfrac{9-\mu}\sigma=2\]


De même,
\[\begin{array}{ll}P(X\geqslant3)&=P\left( Y\geqslant\dfrac{3-\mu}\sigma\rp\\
&=1-P\left( Y\leqslant\dfrac{3-\mu}\sigma\rp=0,8413\enar\]

et donc
\[1-\Phi(\lp\dfrac{3-\mu}\sigma\rp=\Phi(1)\]

Comme de plus, $1-\Phi(x)=\Phi(-x)$, on a donc
\[\Phi(-\lp\dfrac{3-\mu}\sigma\rp=\Phi(1)\]

et donc, à nouveau comme $\Phi$ est bijective,
\[-\dfrac{3-\mu}\sigma=1\]

On a finalement un système de deux équations à deux inconnues à résoudre:
\[\la\begin{array}{ll}\dfrac{9-\mu}\sigma=2\\[1em]-\dfrac{3-\mu}\sigma=1\enar\right.\]

ou encore
\[\la\begin{array}{ll}9-\mu=2\sigma\\\mu-3=\sigma\enar\right.\]

d'où
\[\la\begin{array}{ll}\mu=5\\\sigma=2\enar\right.\]



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Tag:Variables aléatoires continues

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