Trouver les parametres d'une loi normale
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues
Énoncé du sujet
Soit
une variable aléatoire qui suit la loi normale
.
On sait de lus que
et
.
Calculer
et
.
On donne les valeurs de la fonction de répartition
de la loi normale centrée réduite:
,
,
.
![$X$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale/1.png)
![$\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale/2.png)
![$P(X\leqslant9) = 0, 9772$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale/3.png)
![$P(X\geqslant3) = 0,8413$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale/4.png)
![$\mu$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale/5.png)
![$\sigma$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale/6.png)
On donne les valeurs de la fonction de répartition
![$\Phi$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale/7.png)
![$\Phi(1)=0,8413$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale/8.png)
![$\Phi(2)=0,9772$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale/9.png)
![$\Phi(3)=0,9987$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale/10.png)
Correction
et
.
On se ramène à une loi normale centrée réduite, en posant
et alors,
![\[P(X\leqslant9)=P\left( Y\leqslant\dfrac{9-\mu}\sigma\rp=0,9772\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/4.png)
soit donc
![\[\Phi\lp\dfrac{9-\mu}\sigma\rp=0,9772=\Phi(2)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/5.png)
Comme
est bijective, on en déduit que
![\[\dfrac{9-\mu}\sigma=2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/7.png)
De même,
![\[\begin{array}{ll}P(X\geqslant3)&=P\left( Y\geqslant\dfrac{3-\mu}\sigma\rp\\
&=1-P\left( Y\leqslant\dfrac{3-\mu}\sigma\rp=0,8413\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/8.png)
et donc
![\[1-\Phi(\lp\dfrac{3-\mu}\sigma\rp=\Phi(1)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/9.png)
Comme de plus,
, on a donc
![\[\Phi(-\lp\dfrac{3-\mu}\sigma\rp=\Phi(1)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/11.png)
et donc, à nouveau comme
est bijective,
![\[-\dfrac{3-\mu}\sigma=1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/13.png)
On a finalement un système de deux équations à deux inconnues à résoudre:
![\[\la\begin{array}{ll}\dfrac{9-\mu}\sigma=2\\[1em]-\dfrac{3-\mu}\sigma=1\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/14.png)
ou encore
![\[\la\begin{array}{ll}9-\mu=2\sigma\\\mu-3=\sigma\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/15.png)
d'où
![\[\la\begin{array}{ll}\mu=5\\\sigma=2\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/16.png)
Correction
On sait donc que![$P(X\leqslant9) = 0, 9772$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/1.png)
![$P(X\geqslant3) = 0,8413$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/2.png)
On se ramène à une loi normale centrée réduite, en posant
![$Y=\dfrac{X-\mu}\sigma$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/3.png)
![\[P(X\leqslant9)=P\left( Y\leqslant\dfrac{9-\mu}\sigma\rp=0,9772\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/4.png)
soit donc
![\[\Phi\lp\dfrac{9-\mu}\sigma\rp=0,9772=\Phi(2)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/5.png)
Comme
![$\Phi$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/6.png)
![\[\dfrac{9-\mu}\sigma=2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/7.png)
De même,
![\[\begin{array}{ll}P(X\geqslant3)&=P\left( Y\geqslant\dfrac{3-\mu}\sigma\rp\\
&=1-P\left( Y\leqslant\dfrac{3-\mu}\sigma\rp=0,8413\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/8.png)
et donc
![\[1-\Phi(\lp\dfrac{3-\mu}\sigma\rp=\Phi(1)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/9.png)
Comme de plus,
![$1-\Phi(x)=\Phi(-x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/10.png)
![\[\Phi(-\lp\dfrac{3-\mu}\sigma\rp=\Phi(1)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/11.png)
et donc, à nouveau comme
![$\Phi$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/12.png)
![\[-\dfrac{3-\mu}\sigma=1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/13.png)
On a finalement un système de deux équations à deux inconnues à résoudre:
![\[\la\begin{array}{ll}\dfrac{9-\mu}\sigma=2\\[1em]-\dfrac{3-\mu}\sigma=1\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/14.png)
ou encore
![\[\la\begin{array}{ll}9-\mu=2\sigma\\\mu-3=\sigma\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/15.png)
d'où
![\[\la\begin{array}{ll}\mu=5\\\sigma=2\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/determiner-loi-normale_c/16.png)
Tag:Variables aléatoires continues
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