Théorème de Rolle - Un contre exemple ?
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
- Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis
Énoncé du sujet
Soit
.
Montrer qu'il n'existe pas de solution à l'équation
.
Vérifier que
et préciser pourquoi cela ne contredit pas
le théorème de Rolle.
![$f(x)=(x-1)^{-2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0.1/1.png)
Montrer qu'il n'existe pas de solution à l'équation
![$f'(x)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0.1/2.png)
Vérifier que
![$f(0)=f(2)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0.1/3.png)
Correction
,
et donc, en particulier,
pour tout
et
(ni
) n'est définie en
.
Ainsi, il n'existe pas de de solution à l'équation
.
Cela ne contredit pas pour autant le théorème de Rolle car
n'est pas continue (ni dérivable) sur
.
Correction
On a, pour![$x\not=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0.1_c/1.png)
![$f'(x)=-2(x-1)^{-3}=\dfrac{-2}{(x-1)^3}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0.1_c/2.png)
![$f'(x)\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0.1_c/3.png)
![$x\not=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0.1_c/4.png)
![$f'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0.1_c/5.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0.1_c/6.png)
![$x=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0.1_c/7.png)
Ainsi, il n'existe pas de de solution à l'équation
![$f'(x)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0.1_c/8.png)
Cela ne contredit pas pour autant le théorème de Rolle car
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0.1_c/9.png)
![$[0;2]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0.1_c/10.png)
Tags:DérivéeRolle - AF
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