Suites récurrentes couplées


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ trois suites réelles telles que $a_0=1$, $b_0=2$, $c_0=7$, et vérifiant les relations de récurrence : $\la\begin{array}{rcl} a_{n+1}&=&3a_n+b_n\\ b_{n+1}&=&3b_n+c_n\\ c_{n+1}&=&3c_n \enar\right.$
  1. On considère le vecteur colonne $X_n=\lp\begin{array}{c}a_n\\b_n\\c_n\enar\rp$. Trouver une matrice $A$ telle que $X_{n+1}=AX_n$.
  2. Soit $N=\lp\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\enar\rp$. Calculer $N^2$, $N^3$, puis $N^p$ pour $p\geq 3$.
  3. Montrer que $\displaystyle A^n=3^{n}I+3^{n-1}nN+3^{n-2}\frac{n(n-1)}{2}N^2$.
    En déduire $a_n$, $b_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.



Correction

Correction

  1. Soit $A=\lp\begin{array}{ccc}3&1&0\\0&3&1\\0&0&3\\\enar\rp$, alors $X_{n+1}=AX_n$.
  2. On a : $N^2=\lp\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\enar\rp$, et $N^3=\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\enar\rp$.
    Pour $p\geq 3$, on a alors $N^p=N^3.N^{p-3}=0$.
  3. On a $A=3I+N$ et, comme les matrices $3I$ et $A$ commutent ($3A I=I 3A$), on peut utiliser le binôme de Newton qui fournit directement le résultat demandé.
  4. On a donc $A^n=\lp\begin{array}{rcl} 3^n&3^{n-1}n&3^{n-2}\times \frac{n(n-1)}{2}\\ 0&3^n&3^{n-1}n\\ 0&0&3^n\\\enar\rp$.
    On obtient alors : $\la\begin{array}{ccc} a_n&=&3^n+2\times 3^{n-1}n+7\times 3^{n-2}\times \frac{n(n-1)}{2}\\ b_n&=&2\times 3^n+7\times 3^{n-1}n\\ c_n&=&7\times 3^n. \enar\right.$


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