Suite récurrente définie par une fonction - Inégalité des accroissements finis
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
On considère la suite
définie par
et
,
.
Justifier que
,
.
A l'aide de l'inégalité des accroissements finis, montrer que
converge vers 1.
![$\left( u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1/1.png)
![$u_0\in\lb0,\frac43\rb$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1/2.png)
![$\forall n\in\N$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1/3.png)
![$u_{n+1}=\dfrac13\lp4-u_n^2\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1/4.png)
Justifier que
![$\forall n\in\N$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1/5.png)
![$u_n\in\left[ 0,\frac43\rb$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1/6.png)
A l'aide de l'inégalité des accroissements finis, montrer que
![$\left( u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1/7.png)
Correction
et
, de telle que sorte que
.
est dérivable sur
avec
sur
.
Ainsi
est décroissante sur
,
et comme
et
on a
,
et
est donc stable par
.
Ainsi, si
,
,
puis par une récurrence immédiate, pour tout entier
,
.
On veut montrer la convergence de
vers 1, donc majorer
, ou encore, comme
,
,
d'où l'idée d'utiliser l'inégalité des accroissements finis sur l'intervalle
ou
.
est continue et dérivable sur
, et
pour tout
, on a
.
L'inégalité des accroissements finis avec
et
donne alors
![\[\left|f\left( u_n\right) -f(1)\right|=\left|u_{n+1}-1\right|\leqslant\dfrac89\left|u_n-1\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/31.png)
Par une récurrence immédiate, on trouve alors
![\[\left|u_n-1\left|\leqslant\lp\dfrac89\rp^n\left|u_0-1\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/32.png)
et comme
,
on en déduit que
converge bien vers 1.
Correction
Soit![$f(x)=\dfrac13\lp4-x^2\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/1.png)
![$I=\lb0;\frac43\rb$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/2.png)
![$u_{n+1}=f\left( u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/3.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/4.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/5.png)
![$f'(x)=-\dfrac23x\leqslant0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/6.png)
![$I$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/7.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/8.png)
![$I$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/9.png)
![$f(0)=\dfrac43$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/10.png)
![$f\lp\dfrac43\rp=\dfrac{20}{27}>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/11.png)
![$f\left( I\rp=\lb\dfrac{20}{27};\dfrac43\rb\subset I$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/12.png)
![$I$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/13.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/14.png)
Ainsi, si
![$u_0\in I$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/15.png)
![$u_1=f\left( u_0\rp\in I$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/16.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/17.png)
![$u_n\in I$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/18.png)
On veut montrer la convergence de
![$\left( u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/19.png)
![$\left|u_n-1\right|$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/20.png)
![$f(1)=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/21.png)
![$\left|f\left( u_n\rp-f(1)\right|$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/22.png)
![$\left[ u_n,1\rb\subset I$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/23.png)
![$\left[1,u_n\rb\subset I$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/24.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/25.png)
![$I$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/26.png)
![$x\in I$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/27.png)
![$\left|f'(x)\right|=\dfrac23x\leqslant \dfrac89$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/28.png)
L'inégalité des accroissements finis avec
![$a=u_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/29.png)
![$b=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/30.png)
![\[\left|f\left( u_n\right) -f(1)\right|=\left|u_{n+1}-1\right|\leqslant\dfrac89\left|u_n-1\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/31.png)
Par une récurrence immédiate, on trouve alors
![\[\left|u_n-1\left|\leqslant\lp\dfrac89\rp^n\left|u_0-1\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/32.png)
et comme
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac89\rp^n=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/33.png)
![$\left( u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/34.png)
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