Suite récurrente définie par une fonction - Inégalité des accroissements finis
On considère la suite 
définie par 
et 
, 
.
Justifier que
, 
.
A l'aide de l'inégalité des accroissements finis, montrer que
converge vers 1.
définie par
et , .
Justifier que
, . A l'aide de l'inégalité des accroissements finis, montrer que
converge vers 1.
Correction
Soit
et 
, de telle que sorte que
.
est dérivable sur 
avec 
sur 
.
Ainsi 
est décroissante sur 
,
et comme 
et 
on a 
,
et 
est donc stable par 
.
Ainsi, si
, 
,
puis par une récurrence immédiate, pour tout entier 
,
.
On veut montrer la convergence de
vers 1, donc majorer
, ou encore, comme 
,
,
d'où l'idée d'utiliser l'inégalité des accroissements finis sur l'intervalle
ou 
.
est continue et dérivable sur 
, et
pour tout 
, on a 
.
L'inégalité des accroissements finis avec
et 
donne alors
![\[\left|f\left( u_n\right) -f(1)\right|=\left|u_{n+1}-1\right|\leqslant\dfrac89\left|u_n-1\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/31.png)
Par une récurrence immédiate, on trouve alors
![\[\left|u_n-1\left|\leqslant\lp\dfrac89\rp^n\left|u_0-1\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/32.png)
et comme
,
on en déduit que 
converge bien vers 1.
Cacher la correction
Soit
et , de telle que sorte que
.
est dérivable sur avec sur .
Ainsi est décroissante sur ,
et comme et
on a ,
et est donc stable par . Ainsi, si
, ,
puis par une récurrence immédiate, pour tout entier ,
.
On veut montrer la convergence de
vers 1, donc majorer
, ou encore, comme ,
,
d'où l'idée d'utiliser l'inégalité des accroissements finis sur l'intervalle
ou .
est continue et dérivable sur , et
pour tout , on a .
L'inégalité des accroissements finis avec
et donne alors
Par une récurrence immédiate, on trouve alors
et comme
,
on en déduit que converge bien vers 1.
Cacher la correction
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